P veya NP'yi yakalayan doğal bir VO mantığı kısıtlaması var mı?

Kağıt

• Lauri Hella ve José María Turull-Torres, Üst düzey mantıklara sahip bilgi işlem sorguları , TCS 355 197–214, 2006. doi: 10.1016 / j.tcs.2006.01.009

mantıksal VO, değişken dereceli mantık önerir. Bu, değişkenler üzerindeki siparişler üzerinde nicelleştirmeye izin verir. VO oldukça güçlüdür ve hesaplanamayan bazı sorguları ifade edebilir. (Aşağıdaki Arthur Milchior tarafından belirtildiği gibi, aslında analitik hiyerarşinin tamamını yakalar .) Yazarlar, sipariş değişkenleri üzerinde sadece sınırlı evrensel nicelemeye izin vererek elde edilen VO parçasının tüm ce sorgularını tam olarak ifade ettiğini göstermektedir. VO, sipariş değişkenlerinin doğal sayılar üzerinde değişmesine izin verir, bu nedenle sipariş değişkenlerini sınırlamak açıkça uygulanacak doğal bir durumdur.

P veya NP'yi yakalayan (güzel) bir VO parçası var mı?

Bir benzetme olarak, klasik birinci dereceden mantıkta, nesneler kümesi üzerinde nicelleştirmeye izin vermek, ikinci dereceden mantık veya SO adı verilen daha güçlü bir mantık verir . SO, polinom hiyerarşisinin tamamını yakalar ; bu genellikle PH = SO olarak yazılır. Önemli karmaşıklık sınıflarını yakalayan sınırlı SO formları vardır: NP = , SO, P = SO-Horn ve NL = SO-Krom bulunmaktadır. Bunlar, izin verilen formüllerin sözdizimine kısıtlamalar getirilerek elde edilir.$\exists$

Dolayısıyla, ilginç sınıflar elde etmek için SO'yı kısıtlamanın basit yolları vardır. P veya NP için kabaca doğru ifade düzeyi olan benzer VO kısıtlamalarının olup olmadığını bilmek istiyorum. Bu tür kısıtlamalar bilinmiyorsa, muhtemel adaylar için önerilerle veya bu tür kısıtlamaların var olma ihtimalinin düşük olduğu bazı argümanlarla ilgilenirim.

Bunu gösteren (birkaç) makaleyi kontrol ettim ve Google ve Google Akademik'teki bariz ifadeleri kontrol ettim, ancak açıkça alakalı bir şey bulamadım. Birinci dereceden daha güçlü mantıklarla ilgilenen makalelerin çoğu, gücü "makul" hesaplamalar alanına getirmek için kısıtlamalarla uğraşmıyor, ancak aritmetik ve analitik sınıfların ce evreninde yaşamaktan memnun görünüyor. Aramak için bir işaretçi veya açık olmayan bir ifade ile mutlu olurum; bu, üst düzey mantıklarda çalışan biri tarafından iyi biliniyor olabilir.

Not: Bu gerçekten soruyu cevaplamıyor, sadece cevap olarak gönderilen bazı yorumlar. :)

VO'da, tanımlayıcı karmaşıklık ortamında (SO, -SO, SO-Horn) olduğu gibi doğal sayılar kümesi (özyineleme teorisinde tanımlanan kümelere benzer) üzerinde kümeler tanımlandığını unutmayın . Eski bir ortamda bir SO formül değil verecektir P H parçasından ama Arthur Milchior onun cevabını yazmıştır olarak bütün analitik hiyerarşiyiye. IMHO, sınırlı aritmetik teorileri ile daha iyi bir karşılaştırma olacaktır. Tüm niceleyicileri sonlu alanlara bağlamadığınız sürece ce setlerinin altına girebileceğinizi düşünmüyorum, P veya N P almak için alanların boyutu çok küçük olmalıdır.$\exists$$PH$$P$$NP$

setlerini yakalamak için sınırsız bir niceleyicinin varlığı yeterli midir?

Sorun şu ki, dilin eşitlik, toplama, çarpma (ekstra?) Gibi ekstra semboller olmadan olmasını istersiniz, eğer MRDP teoremi, Diophantine formülleri (iki polinom eşitliğinin önünde birinci dereceden varoluşsal niceleyiciler) varsa ce setlerini yakalardı. Dilde bu sembollere izin vermiyorsak, sorun daha karmaşıktır, bunları tanımlamak için daha yüksek dereceli niceleyiciler kullanılabilir, ancak bu nicelik karmaşıklığını artıracaktır. Dolayısıyla, tek bir nicelik belirleyici hakkındaki sorunuza kısa bir cevap vermek istersem bilmiyorum.

$AC^0$$AC^0$$c$$e$$x$

Bazı ek yorumlar:

$AC^0$

Bilgi için, VO aslında söylediklerinizden çok daha güçlüdür; tüm analitik hiyerarşiyi içerir (dolayısıyla, aynı zamanda tüm aritmetik hiyerarşiyi). Sonuç yayınlanmaz, hiçbir yere gönderilmez, ancak sayfamda bulabilirsiniz, www.milchior.fr/ho.pdf bölüm 7 sayfa 47.

$\forall i \forall X^i\forall j\exists Y^j (X^i=Y^j)$$\forall i \forall X^i\forall i\exists Y^i (X^i=Y^i)$$i$$X$$^i$$X$

$\phi(i)$$i$$k$$i>k$$\phi(i)$$k$$\phi(i)$$\forall i \phi(i)$$\forall i < k \phi(i)$

Aksi takdirde, kabul edilen maksimum siparişi kısıtlayarak VO'yu kesinlikle kısıtlayabilirsiniz; ancak daha sonra "daha üst düzey" bir dil (HO) elde edersiniz ve bu muhtemelen istediğiniz şey değildir.

Yorumunuza cevap vermek için sanırım sadece Krom ve Horn hakkında konuşarak başka bir cevap vermeliyim (Belki de CSTheory'ye olanlar hakkında bir soru sormalıyım)

Horn ve Krom ile ilgili Yüksek Dereceli mantıkta karşılaştığım sorun hakkındaki bölüm 5.3 sayfa 34'ü okumanızı tavsiye ederim. Aynı sorunu Değişken Düzen'de de göreceksiniz (ki bu açıkça Yüksek Düzen'in bir üst kümesidir).

Buna dikkat edip etmediğinizi bilmiyorum, ancak ilk sipariş evrensel olduğunda SO (krom) P'ye eşittir; Gerçekten, birinci dereceden değişken değişken eklerseniz NP-tamamlama problemini ifade edebilirsiniz. (Daha önce sahip olduğum örneği hatırlamıyorum, isterseniz aramayı deneyebilirim)

Bu sözdizimsel kısıtlamanın yüksek düzen veya değişken düzen mantığı için ne olacağını bilmiyorum ... benim amacım sadece nicelleştiricileri sınırlamak için iyi bir yol düşünmeniz gerektiğidir, çünkü sadece nicelleştirici kısmı kısıtlamak yararlı değildir ( en azından Krom formülleri için)