Hesaplamanın Geometrik Yorumu

Fizikte olduğum için, geometrik açıdan bir çok soruna bakmak için eğitildim. Örneğin dinamik sistemlerde manifoldların diferansiyel geometrisi vb. Bilgisayar biliminin temellerini okuduğumda daima geometrik yorumlar bulmaya çalışırım. Özyinelemeli olarak numaralandırılabilir kümelerin makul bir geometrik yorumu gibi (Diophantine kümeleri ile denkliği kullanarak bunları cebirsel geometri ile birleştirmeye çalıştığım bir parça üzerinde çalıştım, ancak bağlantı zorlandı ve gerçeklerin "doğal" bir ifadesini bulamadım formülasyon) veya sayıları sıralamak için basit bir algoritma için güzel bir geometrik sonuç. Uzman olmasam da Geometrik Karmaşıklık Teorisi üzerine araştırmaları okudum ve kesinlikle ilginç bir program ama bir Turing Makinesi, Lambda Matematik veya yapısı gibi son derece temel kavramların geometrik bir görünümü ile ilgileniyorum. un) hesaplanabilir kümeler (spesifik problemlerden ziyade). Bu nesnelerde geometrik yapı bulmak umutsuz bir iş mi yoksa karmaşık sonuçlar beklenebilir mi? TCS'yi geometrik olarak tedavi eden herhangi bir formülasyonu var mı?

Bilgisayar programlarının semantiği geometrik olarak üç farklı (ve görünüşte uyumsuz) yolla anlaşılabilir.

• En eski yaklaşım, alan teorisi yoluyladır . Alan teorisinin ardındaki sezgi, sonlandırma ve sonlandırmanın arkasındaki asimetriden kaynaklanır.

  Programları geniş kapsamlı olarak ele alırken (yani dahili yapılarına değil, yalnızca G / Ç davranışlarına bakarken), bir programın durduğunu sonlu zamanda onaylamak her zaman mümkündür - sadece durana kadar beklersiniz. Bununla birlikte, bir programın durmadığını teyit etmek mümkün değildir , çünkü ne kadar beklerseniz sürün, her zaman beklediğinizden birkaç adım daha çalışacak bir durdurma programı vardır.

  Sonuç olarak, durma ve ilmek topolojik bir alan ( Sierpiński alanı ) oluşturduğu düşünülebilir . Bu, (Scott topolojisi aracılığıyla) daha zengin gözlem kavramlarına yükselir ve böylece programları topolojik alanların elemanları olarak yorumlayabilirsiniz. Bu alanlar genellikle geleneksel açıdan oldukça şaşırtıcıdır - alanlar genellikle Hausdorff değildir.

  Bu fikirlere bildiğim en iyi topolojik giriş Steve Vickers'ın Mantık yoluyla kısa ve son derece erişilebilir Topolojisi . Peter Johnstone'un önemli ölçüde daha zorlu Taş Uzayları için bir tür ısınma olarak anlaşılabilir .

  Çevrimiçi ders notları arıyorsanız, Martin Escardo'nun Veri Türleri ve Klasik Uzayların Sentetik Topolojisi'ni önereyim .

• Başka bir görüş, eşzamanlılık teorisinden kaynaklanmaktadır. Eşzamanlı bir program, yarışların nasıl çözüldüğüne bağlı olarak birden fazla geçerli yürütme (durum dizileri) içerdiği anlaşılabilir. Daha sonra, yürütme kümesi bir boşluk olarak görülebilir ve olası her durum sırası bu boşlukta bir yol olarak anlaşılır. Daha sonra, program yürütme hakkında değişmezleri türetmek için cebirsel topoloji ve homotopi teorisinden yöntemler uygulanabilir.

  Nir Shavit ve Maurice Herlihy bu fikri, 2004 Gödel ödülünü kazandıkları bazı dağıtılmış algoritmaların imkansızlığını kanıtlamak için kullanıyor. (Bkz . Eşzamansız Hesaplamanın Topolojik Yapısı .) Eric Goubault, Eşzamanlılık Teorisindeki Bazı Geometrik Perspektiflerdeki ilgili fikirleri açıklayan bir anket kağıdına sahiptir .

• Son zamanlarda, bağımlı tip teorisindeki kimlik tipinin yapısının, homotopi teorisindeki homotopi tip kavramına çok yakın olduğu gözlemlenmiştir - aslında, aslında, bağımlı tip teorisi aslında bir çeşit olarak görülebilir. "sentetik homotopty teorisi"! (Vladimir Voevodsky, birkaç yıl boyunca sadece CS bölümündeki meslektaşlarının lisans öğrencilerine öğrettiğini keşfetmek için homotopi teorisi için yeni bir hesap geliştirmek için harcadığı şaka yaptı.)

  Yukarıdaki cody'nin homotopy türü teori kitabıyla olan bağlantısına bakınız .

İlginç bir şekilde, bu üç görüş birbiriyle bağdaşmaz veya en azından uzlaştırmak çok zor görünüyor. Bağımlı tip teorisi toplam bir dildir, bu nedenle sonlandırma (ve Scott topolojisi) bu dilde ortaya çıkmaz. Aynı zamanda konfluenttir, bu nedenle boşluk olarak hesaplamaların görüşü de ortaya çıkmaz. Benzer şekilde, eşzamanlılığın alan teorisi açısından formüle edilmesi son derece zor olmuştur ve tamamen tatmin edici bir hesap hala açık bir sorundur.

Olduğu gibi , geleneksel olarak bir bilgisayar programı için statik bir değişmezi temsil eden bir türün topolojik bir alan veya daha ziyade böyle bir denklik sınıfı olarak yorumlanabildiği bağımlı türler teorisinde son zamanlarda bir gelişme olmuştur. boşluklar ( homotopi türü ).

Bu, bir kitapla sonuçlanan son birkaç yıldır yoğun araştırma konusu olmuştur .

$\lambda$Vikipedi makale iyi bir genel bakış sağlar.

GCT'nin farkındasınız, ancak Mulmuley'in , PRAM hesaplamaları alt kümesi ile P'nin bir hesaplamanın bir alanı açmak olarak nasıl görülebileceğine dair geometrik fikirler kullanan bir ayrımı gösterme konusundaki önceki çalışmalarının farkında olmayabilirsiniz .

Cebirsel karar ağacı modelindeki problemler için birçok alt sınır, altta yatan çözüm alanlarının topolojisi hakkında muhakemeye indirgenir (Betti sayıları ilgili bir parametre olarak görünür).

Bir anlamda, optimizasyonun TÜMÜ geometriktir: doğrusal programlar yüksek boyutlarda bir politopun en düşük noktasını bulmayı içerir, SDP'ler semidefinite matrisleri alanı üzerinde doğrusal fonksiyonlardır. Geometri, burada algoritmaların tasarımında yoğun olarak kullanılmaktadır.

Bu temada, grafiklerdeki belirli işlevleri optimize etme yeteneğimizle metrik uzayları belirli normlu uzaylara gömme yeteneğimiz arasında uzun ve derin bir bağlantı var. Bu şimdi geniş bir literatür.

Son olarak, son yıllarda optimizasyon problemlerini çözmek için "kaldır ve projele" mekanizmalarına büyük ilgi vardı ve bunlar altta yatan geometriyi ve asansörleri daha yüksek boyutlu alanlara yoğun olarak kullanıyor: cebirsel geometri oyunundan kavramlar burada önemli bir rol.

$T_1$

Bilgi işleme ("hesaplama" olarak da bilinir) ve geometri arasındaki ilişkiyi anlamanın bir yolu, bilgi işlemenin önceki geometri olmasıdır. Bu görüş fiziğin belirli bölümlerinden haberdar olmalıdır. Örneğin görelilik teorisinde hem uzay-zamanın nedensel yapısını (bilgi işlemeyi) hem de geometrik yapısını inceliyoruz . Birçoğu, ikincisinin öncekinden daha temel olduğunu düşünür.

Bu bağlantılar geçmişte fark edilmiştir ve birkaç yıl önce bilgisayar biliminin bilgi-kuramsal yönlerini görelilik teorisi ile ilişkilendirme çabası olmuştur. İnsanların çözmek istedikleri görevlerden biri şuydu: uzay-zamanın nedensellik yapısından başlayarak (uzay-zaman üzerinde sadece kısmi bir düzen), uzay-zaman topolojisini ya da muhtemelen geometriyi yeniden inşa etmekti. Topolojiyi kısmi bir düzenden kurtarmak, alan teorisinin iyi olduğu bir şeydir, bu yüzden bazı başarılar vardı.

Referanslar:

• Mekan, Zaman ve Nedensellik Modellemesi için Hesaplamalı Yapılar , Dagstuhl Semineri 06341, 20–25 Ağustos 2006

• Anahtar Martin ve Prakash Panangaden: Nedensel yapıdan uzay-zaman geometrisi ve bir ölçüm

$U$

sorunuzu yaratıcı bir şekilde yorumlayarak, bahsettiğiniz gibi GCT dışında bazı olasılıklar akla geliyor. bir yolu, oldukça yaygın olan kararsız problemleri (yani Turing bütünlüğü) aramaktır.

• aperiodic Düzlemin döşenmesi ve Penrose döşemesi . uçağın aperodik bir döşemesinin olup olmadığı sorusunun kararsız olduğu kanıtlanmıştır.

• Giderek artan bir şekilde fiziğe derin bağları, birçok ilgili kararsız problem, kanıtlanmış TM tamamlanmış olduğu ve doğal olarak TM hesaplama tablosu olarak yorumlandığı hücresel otomatalar.

• $(x,y)$

• Dinamik sistemlerde (Hainry) kararsızlık , yine bazen fizikle yakından ilişkilidir. dinamik sistemler genellikle çok boyutlu bir geometrik yoruma sahiptir.

• Görsel programlama dilleri . bir program, farklı köşe tiplerine (örneğin, koşullu, aritmetik işlem) vb. sahip bir tür (yönlendirilmiş?) grafik olarak görülebilir.