Abelya gizli alt grup probleminin kuantum algoritmasını anlamada zorluk

AHSP algoritmasının son adımlarını anlamakta güçlük çekiyorum. Let bir değişmeli grubu ve olmak f alt grup gizler fonksiyonu H . G ∗ , G'nin ikili grubunu temsil etsin .$G$$f$$H$$G^*$$G$

İşte algoritmanın adımları

1. Önce devleti hazırla,

   .$\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle$

2. Sonra değerlendirir kuantum kahini uygulamak üzerinde I , biz olsun$f$$I$

   .$\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle$

3. Şimdi ikinci qubit ölçmek biz almak$I'$

   $\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) \otimes |f(rh)\rangle$

   bazı .$r \in G$

4. Şimdi ilk kubite kuantum fourier dönüşümünü uyguluyoruz,

   ,$\qquad \displaystyle I_m = \frac{1}{|H^*|}\sum_{\chi \in H^*} |\chi\rangle$

   burada .$H^*= \{\chi \in G^*: \chi(h)=1 ,\forall h \in H\}$

Şimdi devlet itibaren nasıl grup jeneratörleri alabilirim H ?$I_m$$H$

Bu klasik post-proses, Abelian grupların önemsiz grup teorik özelliklerinden yararlanır. Bu klasik algoritmanın burada nasıl çalıştığına dair didaktik bir açıklama yazdım [1] ; hakkında okunacak diğer iyi kaynaklar [ 2 , 3 , 4 ].

$H^{*}$$H^{*}$$G^{*}$$O(\log{|G|})$$H^{*}$

$H$$H^{*}$

---

Karakter Teorisi

$G$$G$

$$\begin{equation} \chi_g(h)=\exp{\left(2\pi i \sum_{i=1}^{m} \frac{g(i)h(i)}{d_i}\right)}. \end{equation}$$ $g$$\chi_g$$G$$g\rightarrow \chi_g$$G^*$$G$

$H$$H^*$$H$$H$

1. $H^*$$G$

2. $H$$H^{**}$$H$$H\cong H^{**}$

   $$\chi_g(h)=1,\quad \textrm{ for every } g\in H^*$$ $H$

---

Gruplara Göre Lineer Denklemler

$X$$Y$$b\in Y$$\alpha:X\rightarrow Y$

$$\alpha(x)=b$$ $A$, yukarıdaki sorunun olarak yeniden ifade edilebileceği şekilde varsayıyoruz . $$\begin{equation} A x= \begin{pmatrix} a_1(1) & a_2(1) & \cdots & a_n(1)\\ a_1(2) & a_2(2) & \cdots & a_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1(m) & a_2(m) & \cdots & a_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix} = b \end{equation}$$ $Y=\mathbb{Z}_{d_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{d_{m}}$

Son anahtar gözlem, bu sistemlerin çözümleri kabul edip etmediklerine, bunları sayıp bunları bulup bulmadıklarına karar vermek için etkili klasik algoritmaların mevcut olduğudur (bazılarını [1] 'de inceliyoruz ). Çözüm kümesi her zaman biçimindedir ; burada belirli bir çözümdür ve ( bir alt grubu ) çekirdeğidir . Bu klasik algoritmalar sistemin belirli bir çözümünü bulabilir ve bir oluşturucu kümesini hesaplayabilir . Bunlar klasik algoritmalar hayati faydalanmak Smith Normal Formlar$x_0+\ker{\alpha}$$x_0$$\ker{\alpha}$$\alpha$$X$$\ker{\alpha}$ sistemi neredeyse diyagonal bir şekilde yeniden yazmak için (diğer bazı ara adımlar gereklidir, ancak bu size sezgisel bir resim vermelidir).

Sizin durumunuzda elde ettiğiniz denklemler sistemi gizli alt grubu kodlar . Özellikle formdadır , bazı grup homomorfizmasının için, . çekirdeği tam olarak gizli alt gruptur. Bu durumda özel bir çözüm önemsiz olan 0'dır.$H$$\Omega x = 0$$\Omega$$\Omega$

4. sonra, hesaplama bazında ölçmek rastgele bir şekilde bize bir verecektir . χ ∈ G $I_m$$\chi \in G^*$

Daha sonra ikili grubundaki karakterlerin bir listesini almak için kez verdiğiniz tüm adımları tekrarlıyoruz . Bu karakter listesi, ikili grubunun alt grubunu oluşturur .n G K G $n$$n$$G$$K$$G^*$

Daha sonra , nin olduğu bir tane bulmak için tüm olası alt gruplarını kontrol ediyoruz (klasik olarak) . H ∗$H$$H^*$$K$

Sabit bu her zaman benzersiz bir eşleşme değildir, bu yüzden dejenerasyon olduğunda en büyük eşleşmeyi seçeriz (önemsiz alt grup tüm karakter listelerine eşleşeceğinden).$n$