TCS'de Temel Rol Oynayan "İlişkisiz" Matematik Örnekleri?

Lütfen normalde bilgisayar bilimlerinde uygulandığı düşünülen matematik teorisinin ilk önce bilgisayar bilimi sonucunu kanıtlamak için kullanıldığı örnekleri listeleyiniz. En iyi örnekler, bağlantının açık olmadığı yerlerdir, ancak bir kez keşfedildikten sonra, açıkça yapmanın "doğru yolu" dur.

Bu, TCS'nin klasik matematiğe uygulamaları sorusunun tam tersi mi?

Örneğin, "Green'in Teori ve Düzlemsel Grafiklerde İzolasyonu" konusuna bakın , burada bir izolasyon teoreminin (teknik bir kanıt kullanarak zaten biliniyordu), Green Teoremi kullanılarak çok değişkenli analizden elde edildiği kanıtlandı.

Başka hangi örnekler var?

Maurice Herlihy, Michael Saks, Nir Shavit ve Fotios Zaharoglou , 2004 yılında dağıtılmış hesaplamada bazı problemlerin çalışılmasında cebirsel topolojiyi kullandıkları için Godel ödülünü aldı .

Birkaç yıl önce Noga Alon ve Muli Safra ile birlikte yazdığım bir işten bir örnek aldım:

Noga, cebirsel topoloji sabit nokta teoremlerini "Gerileme Ayrılma Teoremini" ispatlamak için kullandı: t tipi boncuklara sahip bir kolyeniz varsa ve bunun parçalarını b insanlar arasında bölüştürmek istediğinizde, her biri her tipten aynı sayıda boncuk elde etsin ( b'nin t) böldüğünü varsayalım, her zaman en çok (b-1) t yerlerinde kolyeyi keserek yapabilirsiniz.

Bu teoremi, yaklaşık Set-Cover'in sertliğini kanıtlamak için kullandığımız bir birleşimsel nesneyi inşa etmek için kullandık.

Biraz daha bilgi burada: http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest.html

Geçmişe bakıldığında, bu açık olabilir, ancak her zaman Steele, Yao ve Ben-Or'nun Oleinik-Petrovsky / Milnor / Thom teoremini (Betti'nin gerçek yarı cebirsel kümelerin sınırlandırılması) sınırlandırılması uygulamasından düşkünüm. Cebirsel karar ağacındaki sınırlar ve cebirsel hesaplama ağacı hesaplama modelleri.

En sevdiğim sonuçlardan biri, Lovasz'ın Kneser fıkrasına dair kanıtındaki topolojik tartışmaların kullanılması ve Kahn-Saks-Sturtevant ataklarına karşı güçlü Aandera-Rosenberg-Karp fıkrasına yapılan saldırıda Topolojik ( ve grup-teorik ) yöntemlerin kullanılmasıdır. .

Sonlu grupların temsil teorisi, Cohn-Kleinberg-Szegedy-Umans'ın matris çarpımına yaklaşımında kullanılır . Belli koşulları sağlayan simetrik gruplara sahip abelian çelenk ürünlerinin ailelerinin var olduğunu, o zaman karesel karmaşıklığın matris çarpım algoritmalarının olduğunu gösterirler.

Temsil teorisi (cebirsel grupların) aynı zamanda Mulmuley ve Sohoni'nin geometrik karmaşıklık teorisi yaklaşımını alt sınırlara kadar gösterir. Bu bir uygulama olarak sayılırsa henüz belli değil, çünkü bu yaklaşımla yeni bir karmaşıklık sonucu henüz kanıtlanmadı, ancak en azından ilk allıkta tamamen alakasız görünen iki alan arasında ilginç bir bağlantı yapıldı.

Bunun gibi birçok örnek var. Ben ilk karmaşıklık teorisi öğrendiğimde, kişi tarafından şaşırtıcı (örneğin Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton Lemma gibi) polinomların kökleri hakkında temel teoremler etkileşimli deliller polinom alan simüle edip etmeyeceğini sorusuna ilgisi olduğunu ( ). Elbette, polinomların bu özellikleri önceki çalışmalarda zaten kullanılmıştı ve günümüzde karmaşıklık teorisinde "polinomlaştırma" hesaplamalarının kullanımı oldukça standart hale gelmiştir.$IP = PSPACE$

Yaklaşım teorisi (düşük dereceli polinomlar gibi basit fonksiyonlarla muhtemel karmaşık veya doğal olmayan gerçek değerli fonksiyonların yaklaştırılmasıyla ilgilenen) Devre karmaşıklığı, Kuantum sorgu karmaşıklığı, Sahterandumluk vb.

Sanırım bu alandaki en havalı araç uygulamalarından biri olan Beigel, Reingold ve Spielman'ın bu makalesinden geliyor , burada PP karmaşıklık sınıfının, işaret işlevinin düşük bir değerle yaklaştırılabildiği gerçeğiyle kesişme altında kapatıldığını gösterdiler. -derece rasyonel fonksiyon.

Nisan ve Szegedy ve Paturi , düşük dereceli polinomlarla simetrik fonksiyonlara yaklaşmak için daha düşük sınırlar gösterdi. Bu yöntem, Kuantum sorgu karmaşıklığı düşük sınırları kanıtlamak için sık kullanılır. Örneğin Scott Aaronson'un ders notlarına bakınız .

Bir başka güzel fikir: Yao'nun minimax prensiplerini kullanma fikri ve karma oyunların (genellikle doğrusal bir programlama dualitesine sahip) karışık oyun algoritmalarında daha düşük sınırlar göstermek için (bunun yerine deterministik bir algoritmaya girdiler üzerinde bir dağıtım oluşturarak) bir dengeye sahip olduklarının ispatı.

Sabit nokta teoremleri her yerde ...

Ancak hiçbir yerden ortaya çıkan oldukça şaşırtıcı bir geometri örneği etkili karşılaştırma sonucudur. Burada, bir elemanı kümesi üzerinde tanımlanan kısmi bir düzen göz önüne alındığında, verilen kısmi sıra ile uyumlu nesnelerin permütasyon kümesini düşünün. Asıl soru, daha sonra yapılacak en etkili karşılaştırmayı seçmek; yani, yeni kısmi düzenle uyumlu permütasyon sayısını daraltacak karşılaştırmanın ne olduğu (tabii ki, bu tek karşılaştırmanın sonucuna bağlı olarak iki olası kısmi emir vardır). Her zaman permütasyon sayısını sabit bir faktörle daraltan bir karşılaştırma olduğu bilinmektedir (bu nedenle, Şeklinde sıralayabilirsinizO ( günlüğü n ! $n$$O(\log n!)$karşılaştırmalar, duh). Bu gerçeğin kanıtı, yüksek boyutlu çoklu yüzeylerin geometrisinden geçer. Spesifik olarak, ispat Brunn-Minkowski eşitsizliğini kullanır. Bunun iyi bir sunumu Matousek'in Kesikli Geometri ile İlgili Dersler kitabında yer almaktadır (Bölüm 12.3). Asıl kanıt buradan Kahn ve Linial geliyor .

Teorik bilgisayar bilimlerinde bilgi teorisinin pek çok kullanımı vardır : örneğin, yerel olarak kodu çözülebilen kodlar için daha düşük sınırların kanıtlanmasında (bkz. Katz ve Trevisan), Raz'ın paralel tekrarlama teoremini kanıtlamasında, iletişim karmaşıklığında (örneğin, konuya bakınız iletişimin sıkıştırılması, örneğin Barak, Braverman, Chen ve Rao’nun nispeten yakın tarihli çalışmaları ve referansları) ve çok daha fazla çalışma.

Alon ve Naor, Grothendieck'in eşitsizliğini , max-cut probleminde bir yaklaşım algoritması olduğunu kanıtlamak için kullandı . Bu konuda daha sonra yapılacak çalışmalar olduğunu düşünüyorum ama uzman değilim.

İlginç bir şekilde, aynı teorem, quantum XOR oyunlarını analiz etmek için Cleve, Hoyer, Toner ve Watrous tarafından, Linial ve Shraibman da kuantum iletişim karmaşıklığı için kullanıldı. Bildiğim kadarıyla, Grothendieck'in eşitsizliği ile kuantum fiziğinin temeli arasındaki ilişki Tsirelson tarafından 85 yılında keşfedildi, ancak bahsettiğim iki sonuç özellikle bilgisayar bilimleriyle ilgili.

Barrington'un teoremi için iyi bir örnek:

Bir boolean işlevi , derinliği devresiyle hesaplanırsa , o zaman genişliği 5 ve uzunluğu olan bir dallanma programı ile hesaplanabilir .d f 4 $f$$d$$f$$4^d$

Kanıt , grubunu kullanır (çünkü birbirine ve komütatörlerine eşlenik olan iki element vardır), ancak çözülemeyen herhangi bir grup üzerinde çalışmak için genelleştirilebilir.$S_5$

Utanmaz tapa: İzotropik varsayımın (ve genel olarak dışbükey geometri) Moritz Hardt ile yaptığım çalışmalarda doğrusal sorgular için en uygun diferansiyel diferansiyel mekanizmaların tasarımında kullanılması .

Suresh'in yukarıdaki sorusunu kısmen cevaplamak için, asıl sorunun “normal olarak bilgisayar bilimlerinde uygulanmadığı” nedeniyle biraz aldatıcı olduğunu düşünüyorum. Başlangıçta "ilgisiz" görünebilecek bu tekniklerin bazıları zamanla "normal" hale gelir. Dolayısıyla bu tekniklerin en başarılısı (örneğin Kahn-Kalai-Linial'da Fourier analizi, Linial-Londra-Rabinovich'te metrik gömme işlemleri) artık geçerli cevaplar değil.

Ek literatürde katkı birleştirici / sayı teorisi çok kullanılmıştır. İlk örneklerin Paley grafiklerinin iyi çıkarıcılar olarak kullanılabileceğini fark etmekten kaynaklandığını düşünüyorum ve ek sayı teorisindeki bazı açık sorular daha iyi olanlar anlamına gelebilir. Bildiğim ilk referans Zuckerman 1990 ( tezine bakınız ), ancak son birkaç yılda bu, TCS ve katkı maddesi kombinasyonları arasında ilginç ileri geri olan aktif bir alan oldu. (En dikkat çeken noktalardan biri, Dvir'in Kakeya'nın sonlu alanı varsayımına dair kanıtı olduğunun kanıtıdır , ancak bu elbette matematiğe bir TCS katkısıdır ve etrafındakiler değil.) kümeleri, CS için önemli olurdu.

Sleator, Tarjan ve Thurston ile ikili arama ağaçları çiftlerinin sonsuz ailesinin varlığını kanıtlamıştır nköşeler ve dönme mesafesi 2n-6hiperbolik geometrisi kullanılmıştır.

satırlı açık bir RIP matrisi oluşturmak için kullanılan katkı birleştirici maddeler :$o(k^2)$

Jean Bourgain, Stephen J. Dilworth, Kevin Ford, Sergei Konyagin, Denka Kutzarova: Açık RIP matrisleri için bariyerini kırmak . STOC 2011: 637-644.$k^2$

Grafikleri seyrekleştirmek için kullanılan doğrusal cebir:

Joshua D. Batson, Daniel A. Spielman, Nikhil Srivastava: İki kez ramanujan sparsifi. STOC 2009: 255-262.

Bu sayılabilir veya sayılmaz, ancak yakın zamanda Zermelo-Fraenkel atomlu (ZFA) ve Fraenkel-Mostowski (FM) set teorileri, isim bağlamalı soyut sözdizimi çalışmasına uygulanmıştır. ZFA, 20. yüzyılın başlarında, CH'nin bağımsızlığını kanıtlamak için bir araç olarak tanıtıldı ve sonra unutuldu, ancak 1990'ların sonunda iki bilgisayar bilimcisi --- Gabbay ve Pitts --- tamamen bağlantısı kesilmiş bir şeyi inceleyerek yeniden keşfedildi.

Örneğin bu anket makalesine bakın .

Kahn ve Kim'in grafik entropi uygulaması, kısmi bilgi altında sınıflandırma yapmıştır (http://portal.acm.org/citation.cfm?id=129731). Bilgiyi teorik olarak optimal (sabitlere kadar) kıyaslama sayısı ile gerçekleştiren ilk polinom zaman algoritmasını verdiler. Kağıt, konveks geometri, grafik entropi ve dışbükey programlama ile birlikte bazı klasik birleşimsel argümanları kullanan matematikte küçük bir alan gezisidir. Daha yeni bir basit algoritma var, ancak şimdi grafik entropi olmadan nasıl analiz edileceğini hala biliyoruz.

RSA ve diğer açık anahtar şifreleme şemalarını geliştirmek için sayı teorisi kullanılmıştır.

Karatsuba çarpımının keşfi şaşırtıcıydı.