TCS'deki hangi ilginç teoremler Seçim Aksiyomuna dayanmaktadır? (Ya da alternatif olarak, Belirlilik Aksiyomu?)

Matematikçiler bazen Seçim Aksiyomu (AC) ve Belirlilik Aksiyomu (AD) hakkında endişe duyuyorlar.

Seçme aksiyomu : Herhangi koleksiyon Verilen boş olmayan kümeler, orada bir fonksiyondur f kümesi verilen bu S içinde C , bir üyesini döndürür S .${\cal C}$$f$$S$${\cal C}$$S$

Belirsizlik Aksiyomu : , sonsuz uzun bit dizeleri kümesi olsun . Alice ve Bob Alice 1 bit alır bir oyun oynamak b 1 , Bob 2 bit alır b 2 sonsuz dize kadar böyle devam ve x = b 1 b 2 ⋯ inşa edilmiştir. Alice, eğer x ∈ S ise oyunu, Bob ise x ∉ S ise oyunu kazandı . Varsayım, her S için, oyunculardan biri için kazanma stratejisinin olmasıdır. (Örneğin, S yalnızca tümü dizgiden oluşuyorsa, Bob çok sayıda hamle kazanabilir.)$S$$b_1$$b_2$$x = b_1 b_2 \cdots$$x \in S$$x \not \in S$ $S$$S$

Bu iki aksiyomun birbiriyle tutarsız olduğu bilinmektedir. (Bir düşünün ya da buraya gidin .)

Diğer matematikçiler bu aksiyomların ispatta kullanılmasına çok az dikkat eder veya hiç dikkat etmez. Çoğunlukla sınırlı nesnelerle çalıştığımıza inandığımız için teorik bilgisayar bilimi ile neredeyse alakasız görünüyorlar. Bununla birlikte, TCS, sınırsız bit dizgileri olarak hesaplama karar problemlerini tanımladığından ve bir algoritmanın zaman karmaşıklığını, doğal maddeler üzerinde asimptotik bir fonksiyon olarak ölçtüğümüz için, bu aksiyomlardan birinin kullanımının sürünmesi olasılığı her zaman vardır. bazı kanıtlara.

TCS'de bu aksiyomlardan birinin nerede gerekli olduğunu bildiğiniz en çarpıcı örnek nedir ? (Herhangi bir örnek biliyor musunuz?)

Sadece biraz gölgelemek için, köşegenleştirme argümanının (tüm Turing makinelerinin setinde olduğu gibi) Seçim Aksiyomunun bir uygulaması olmadığını unutmayın. Bir Turing makinesinin tanımladığı dil sonsuz bir bit dizesi olmasına rağmen, her bir Turing makinesinin sınırlı bir tanımı vardır, bu yüzden burada sonsuz sayıda sonsuz küme için bir seçim işlevi gerektirmez.

(Çok fazla etiket koydum, çünkü örneklerin nereden geleceği konusunda hiçbir fikrim yok.)

ZFC'de ispatlanabilecek herhangi bir aritmetik ifade ZF'de ispat edilebilir ve dolayısıyla tercih edilen aksiyomun "ihtiyacına" ihtiyaç duymaz. "Aritmetik" ifadesiyle, birinci dereceden aritmetik dilinde bir ifade kastediyorum, yani sadece doğal sayılar üzerinden niceleyiciler kullanılarak ifade edilebiliyor ("tüm doğal sayılar için x" veya "doğal sayı x var"), doğal sayı kümelerini ölçmeden . İlk bakışta tamsayı kümeleri üzerinde nicel ölçümü yasaklamak çok kısıtlayıcı görünebilir; ancak, sonlu tamsayı kümeleri tek bir tamsayı kullanarak "kodlanabilir", bu nedenle sonlu tamsayı kümelerini ölçmek uygundur.

$P\ne NP$

Fakat bekleyin, diyebilirsiniz ki, kanıtları Koenig'in lemması veya Kruskal'ın ağaç teoremi gibi bir şey gerektiren aritmetik ifadeler? Bunlar, tercih edilen bir aksiyomun zayıf bir biçimini gerektirmiyor mu? Cevap, söz konusu sonucu tam olarak nasıl ifade ettiğinize bağlı olmasıdır. Örneğin, grafikte küçük teoremi “sonsuz etiketsiz grafik kümesi verildiğinde, biri diğerinin küçükü olacak şekilde” şeklinde belirtiyorsanız, o zaman ilerlemek için bir miktar seçim yapmanız gerekir. sınırsız veri kümeniz, köşeleri, alt yazıları vb. seçmek. [EDIT: Burada bir hata yaptım. As Emil Jeřábek açıklıyorZF'de minör teorem grafiği - veya en azından AC yokluğunda en doğal ifadesi kanıtlanabilir. Ama bu hata modulo, aşağıda söylediklerim hala doğru. ] Bununla birlikte, bunun yerine etiketli sonlu grafiklerdeki küçük ilişkinin doğal sayılarıyla özel bir kodlama yazarsanız ve bu grafiksel kısmi düzen hakkında bir ifade olarak grafik küçük teoremini ifade ederseniz, ifade aritmetik olur ve AC gerektirmez. kanıt.

Çoğu kişi, grafik minör teoreminin "birleştirici özünün", belirli bir kodlamayı düzelten sürüm tarafından zaten yakalandığını ve genel ayarlarla sunulması durumunda her şeyi etiketlemek için AC'yi çağırmaya ihtiyaç duyulduğunu düşünmektedir. Problemin teorik versiyonu, mantıksal temeli olarak aritmetikten ziyade set teorisini kullanma kararının alakasız bir eseridir. Aynı şekilde hissediyorsanız, grafik minör teoremi AC gerektirmez. (Ayrıca , Ali Enayat'ın Matematik Temelleri e-posta listesine gönderdiği bu yazıya , bir zamanlar sahip olduğum benzer bir soruya cevap olarak da bakınız.)

Düzlemin kromatik sayısının örneği benzer şekilde bir yorumlama meselesidir. AC varsayarsanız eşdeğer olduğu sorulabilecek, ancak AC varsaymıyorsanız farklı sorular sorabileceğiniz çeşitli sorular vardır. Bir TCS açısından, sorunun birleştirici kalbi, uçağın sonlu alt bölümlerinin renklendirilebilirliği ve daha sonra (eğer istersen) bir sonuç elde etmek için bir kompaktlık argümanı (AC'nin girdiği yer) kullanabilmenizdir. Tüm düzlemin kromatik sayısı hakkında eğlenceli, ama biraz teğet ilgi. Bu yüzden bunun gerçekten iyi bir örnek olduğunu sanmıyorum.

Sonuçta , çözümlerinde büyük kardinal aksiyomları gerektiren herhangi bir TCS sorusu olup olmadığını sorma konusunda daha fazla şansınız olabileceğini düşünüyorum (AC yerine). Harvey Friedman'ın çalışması, grafik teorisindeki belirli parasal ifadelerin büyük kardinal aksiyomlar (veya en azından bu tür aksiyomların 1 tutarlılığı) gerektirebileceğini göstermiştir. Friedman'ın şu ana kadarki örnekleri biraz yapay, ancak yaşamlarımızda TCS'de "doğal olarak" dağılan benzer örnekleri gördüğüme şaşırmam.

Anladığım kadarıyla Robertson-Seymour teoremi için bilinen kanıt , Seçim Aksiyomunu kullandığıdır (Kruskal'ın ağacı teoremi aracılığıyla). Robertson-Seymour teoremi verilen herhangi bir küçük-kapalı grafik ailesindeki üyelik testinin polinom zamanında yapılabileceğini ima ettiğinden, bu TCS bakış açısından oldukça ilginçtir. Başka bir deyişle, Seçim Aksiyomu dolaylı olarak polinom zaman algoritmalarının bazı problemler için var olduğunu kanıtlamak için, bu algoritmaları fiilen inşa etmeden kullanılabilir.

Bu, tam olarak aradığınız şey olmayabilir, çünkü AC'nin gerçekten burada gerekli olup olmadığı açık değildir.

Bu Janne Korhonen tarafından verilen cevap ile ilgilidir.

80'li ve 90'lı yıllarda Kruskal Ağaç Teoremi'nin (KTT; orjinal KTT, 1960'tan kalma) uzantılarını kanıtlamak için gerekli olan aksiyom sistemlerini (diğer bir deyişle, aritmetik teori) karakterize etmeye çalışan bir sonuç akışı vardı. Özellikle, Harvey Friedman bu çizgiyi takip ederek birkaç sonuç ortaya koymuştur (bkz. SG Simpson. Sonlu ağaçların bazı birleşimsel özelliklerinin kanıtlanamaması . LA Harrington ve diğerleri, editör, Harvey Friedman'ın Matematiğin Temelleri Araştırması. Elsevier, North-Holland, 1985) . Bu sonuçlar, KTT'nin (belirli uzantılarının) "güçlü" Kavrama Aksiyomlarını kullanması gerektiğini göstermiştir (yani, belirli yüksek mantıksal karmaşıklık kümelerinin bulunduğunu söyleyen aksiyomlar). ZT'de KTT'nin genişlemesinin kanıtlanabilirliği hakkında kesin olarak bilmiyorum (tercih edilen aksiyom olmadan).

Bu sonuç akışına paralel olarak, yeniden yazma sistemleri aracılığıyla ("B Teorisi") TCS'ye bağlanma denemesi yapıldı . Buradaki fikir, sonlandırılmalarının KTT'nin (uzantılarına) (KTT ile yeniden yazma sistemleri arasındaki orijinal bağlantıya N arasındaki bağlantıların N tarafından kanıtlandığına) dayandığı yeniden yazma sistemlerinin kurulmasıdır. Dershowitz (1982). Bu, belirli programların sonlandırıldığını göstermek için güçlü aksiyomlara ihtiyaç duyulduğunu gösterir (çünkü KTT'nin uzantıları böyle aksiyomlara ihtiyaç duyar). Bu tür sonuçlar için bakınız örneğin A. Weiermann, Kruskal teoreminin bazı sonlu formları için karmaşıklık sınırları , Sembolik Hesaplama Dergisi 18 (1994), 463-488.

${\mathbb R}^2$

In Selanın ve Soifer, "seçim ve uçağın kromatik sayısının aksiyomu," o gösterildiğini uçağın tüm sonlu subgraphs dört renk ardından ise

• Seçtiğiniz aksiyomu varsayarsanız, uçak dört kromatiktir.
• Bağımlı seçimler ilkesini ve tüm setlerin Lebesgue ölçülebilir olduğunu varsayarsanız, düzlem beş, altı veya yedi kromatiktir.

Olivier Finkel'in çalışmalarının bir kısmı, mutlaka Seçim Aksiyomu hakkında kesin olarak olmasa da - ve Timothy Chow'un cevabına uygun olarak - soru ile ilgili görünüyor. Örneğin, Eksiklik Teoremlerinin, Büyük Kardinallerin ve Sonlu Sözler Üzerindeki Otomatların Özetinden alıntı yapmak , TAMC 2017 ,

$T_n := ZFC + \text{``There exist (at least) $n$ inaccessible cardinals''}$$n \geq 0$

[Bu, sorunuza doğrudan bir cevap değil, ancak bazı insanlar için düşündürücü ve / veya bilgilendirici olabilir.]

William Gasarch'in P - NP Anketi "P-NP'nin nasıl çözüleceği" hakkında bazı istatistikler veriyor:

1. 61 düşünce P ≠ NP.
2. 9 düşünce P = NP.
3. 4 bunun bağımsız olduğunu düşündü . Belirli bir aksiyom sistemi belirtilmese de, bunun ZFC'den bağımsız olduğunu düşündüklerini farz ediyorum .
4. 3 , ilkel özyinelemeli aritmetik bağımsız olmadığını söyledi .
5. 1 modeline bağlı olacağını söyledi.
6. 22 görüş bildirmedi.

Vikipedi bağımsızlık ilginç bir şekilde ele alıyor:

... Bu engeller aynı zamanda bazı bilgisayar bilimcilerine P'ye karşı NP sorununun ZFC gibi standart aksiyom sistemlerinden bağımsız olabileceğini önerdiler (içinde ispatlanamaz ya da ispatlanamazlar). Bir bağımsızlık sonucunun yorumu, herhangi bir NP-tamamlanmış problem için hiçbir polinom-zaman algoritması bulunmadığı ve (örn.) ZFC'de böyle bir kanıtın oluşturulamayacağı veya NP-tam problemler için polinom-zaman algoritmalarının olabileceği, ama böyle algoritmalar [doğru olduğunu ZFC içinde ispat etmek imkansız 1]. Ancak, şu anda uygulanabilir olduğu bilinen tür teknikleri kullanarak gösterilebilirse, soruna tamsayı aritmetiği için Peano aksiyomlarını (PA) genişleten daha zayıf varsayımlarda bile karar verilemezse, o zaman neredeyse kesin olarak var olur - NP'deki her problem için polinom-zaman algoritmaları [ 2 ]. Bu nedenle, eğer bir kimse (çoğu karmaşıklık teorisyeninin yaptığı gibi) NP'deki tüm sorunların etkili algoritmalara sahip olmadığına inanıyorsa, bu teknikleri kullanarak bağımsızlık kanıtlarının mümkün olamayacağı sonucuna varır. Ek olarak, bu sonuç, şu anda bilinen teknikleri kullanarak PA veya ZFC'den bağımsızlığı kanıtlamanın, NP'deki tüm problemler için verimli algoritmaların varlığını kanıtlamaktan daha kolay olmadığı anlamına gelir.

$ZF$

$G$$\chi(H)$$H$$G$$G$

$ZF$