Sorunların P veya BPP'de olmasının nedenlerini açıklayan

Son zamanlarda, bir fizikçiyle konuşurken, tecrübelerime göre, doğal olarak üssel bir zamana ihtiyacı olan bir problemin, P veya BPP'de olduğu gibi, ortaya çıkmadığını ortaya koyduğumu, azalmanın neden ortaya çıktığını belirten bir “genel sebep” olduğunu iddia ettim. --- ve neredeyse her zaman, bu sebep bir düzine ya da daha az "olağan şüpheli" nin listesine aittir (örneğin: dinamik programlama, doğrusal cebir ...). Ancak, bu daha sonra düşünmeme neden oldu: gerçekte bu gibi nedenlerin iyi bir listesini yazabilir miyiz? İşte bir ilk, tamamlanmamış bir deneme:

(0) Matematiksel karakterizasyon. Problem, bir zamanlar bilindiği gibi, çoklu (n) olasılıkların bir listesi üzerinde ayrıntılı bir araştırma yapmanıza hemen olanak sağlayan, açık bir şekilde "tamamen matematiksel" bir karakterizasyona sahiptir. Örnek: Kuratowski teoreminden O (n ⁶ ) algoritması izleyen grafik düzlemselliği .

("Düzlemsel" in aşağıya işaret ettiği gibi, bu kötü bir örnekti: düzlemin birleşimsel karakterizasyonunu bilseniz bile, bunun için polinom-zaman algoritması vermek hala oldukça önemsizdir. Peki, burada daha iyi bir örnek vereyim: peki ya Örneğin, "ikili olarak yazılmış bir giriş n verildiğinde, n delikli bir yüzeye gömülü rastgele bir haritayı renklendirmek için kaç renge ihtiyaç duyulduğunu hesaplayın." Bunun, bunun (hatta sonlu!) hesaplanabilir olduğu konusunda çok açık bir şey değil. Ancak cevabı veren bilinen bir formül vardır ve bir kere formülü bildiğiniz zaman, polinom zamanında hesaplamak çok önemlidir. Bu arada, "dışlanmış küçüklere indirgenir / Robertson-Seymour teorisi" muhtemelen bir şeyin neden olabileceğinin ayrı bir nedeni olarak eklenmelidir. P.)

Her neyse, bu özellikle beni ilgilendiren durumlardan biri değil .

(1) Dinamik programlama. Problem, üssel patlama olmadan özyinelemeli çözümü mümkün kılacak şekilde bozulabilir - çoğu zaman karşılanması gereken kısıtlamalar doğrusal veya başka basit bir düzende düzenlendiğinden. "Tamamen birleştirici"; cebirsel yapıya gerek yok. Muhtemelen, grafik erişilebilirliği (ve dolayısıyla 2SAT) özel durumlardır.

(2) Matroidler. Problem, açgözlü bir algoritmanın çalışmasını sağlayan bir matroid yapısına sahiptir. Örnekler: eşleştirme, minimum yayılma ağacı.

(3) Doğrusal cebir. Problem, lineer bir sistemin çözümlenmesi, bir determinant hesaplanması, özdeğerlerin hesaplanması, vb. İle azaltılabilir.

(4) Dışbükeylik. Problem bir tür dışbükey optimizasyon olarak ifade edilebilir. Yarı-kesin programlama, doğrusal programlama ve sıfır toplamlı oyunlar yaygın (artan şekilde) özel durumlardır.

(5) Polinom kimlik testi. Sorun bir polinom kimliğini kontrol etmekle azaltılabilir, böylece Cebir'in Temel Teoremi etkili bir randomize algoritmaya yol açar - ve bazı durumlarda, primallik gibi, hatta kesin olarak belirleyici bir algoritma.

(6) Markov Zinciri Monte Carlo. Sorun, hızla karışan bir yürüyüşün sonucundan örneklemeye indirgenebilir. (Örnek: yaklaşık mükemmel eşleşmeler sayılıyor.)

(7) Öklid algoritması. GCD, sürekli kesirler ...

Çeşitli / Sınıflandırmanın tam olarak nasıl yapılacağı belli değil: Kararlı evlilik, polinom faktoringi, permütasyon gruplarına üyelik problemi, sayılar teorisinde çeşitli problemler ve grup teorisi, düşük boyutlu kafes problemleri ...

Sorum şu: En önemli şeyler nelerdir?

Netleşmeştirmek:

• Hiçbir listenin tam olarak tamamlanamayacağının farkındayım: verdiğiniz sonlu sayıda sebep ne olursa olsun, birisi P'de olan ama bu nedenlerden hiçbirinde olmayan egzotik bir problem bulabilecek. Kısmen bu sebepten ötürü, P veya BPP'de pek çok farklı, görünüşte alakasız problemi ortaya çıkaran fikirlere, sadece bir problem için çalışan fikirlere daha çok ilgi duyuyorum.

• Ayrıca olayları nasıl bölmenin öznel olduğunu da anlıyorum. Örneğin, matroidler sadece özel bir dinamik programlama durumu mu olmalı? Derinlik ilk arama ile çözülebilirlik, dinamik programlamadan ayrı, kendi nedeni olacak kadar önemli midir? Ayrıca, çoğu zaman aynı sorun, ona nasıl baktığınıza bağlı olarak birçok nedenden dolayı P'de olabilir: örneğin, temel bir özdeğer bulma, doğrusal cebir nedeniyle P'dedir, fakat aynı zamanda dışbükey bir optimizasyon problemidir.

Kısacası, bir "sınıflandırma teoremi" ummıyorum - sadece şu anda verimli algoritmalar hakkında bildiklerimizi faydalı bir şekilde yansıtan bir liste için. Bu yüzden beni en çok ilgilendiren şey, P veya BPP’de geniş uygulanabilirliği olan, ancak yukarıdaki listeye uymayan şeyler - veya ham ürünümü geliştirmek için ilk çabalarımı geliştirmek için diğer fikirler. fizikçi.

Bazı grafik sınıfları, tüm grafiklerin sınıfı için NP-zor olan problemler için polinom-zaman algoritmalarına izin verir . Örneğin, mükemmel grafikler için, kişi polinom zamanında en büyük bağımsız seti bulabilir (hafızamı dürtmek için yapılan bir yorumda vzn sayesinde). Bir ürün inşası yoluyla, bu aynı zamanda, izlenebilir olan oldukça farklı birkaç CSP'nin (genellikle hiyerarşik ayrışma ile çözülen ağaç yapısına sahip olanlar ve genellikle mükemmel eşleşmeyle çözülen Tüm Farklı kısıtlamaları gibi) birleştirilmiş bir açıklamaya izin verir.

Mükemmel grafiklerin "kolay" olduğu söylenebilir, çünkü söz konusu problemlerin güzel yarı-kesin programlama formülasyonlarına izin verir (ve dolayısıyla lineer cebir ve / veya konveksite altındadır). Ancak, olup bitenleri tamamen yakaladığından emin değilim.

• András Z. Salamon ve Peter G. Kıskançlıklar, Mükemmel kısıtlamalar izlenebilir , CP 2008, LNCS 5202, 524-528. doi: 10.1007 / 978-3-540-85958-1_35

• Meinolf Sellmann, Ağaç Yapılı İkili Kısıt Memnuniyeti Sorunları Polytopu, CPAIOR 2008, LNCS 5015, 367–371. doi: 10.1007 / 978-3-540-68155-7_39

Gil Kalai'nin belirttiği gibi, küçük-kapalı sınıfları oluşturan grafiklerin özellikleri, sınırlı bir küçükler kümesi tarafından tanımlanabilir (bu, Robertson-Seymour teoremidir ). Robertson ve Seymour'un bir başka sonucu da küçüklerin varlığı için testlerin kübik sürede yapılabilmesidir. Bunlar birlikte küçük-kapalı özelliklere karar vermek için bir polinom-zaman algoritmasına yol açar.

• Neil Robertson ve PD Seymour, Graph Minors. XIII. Ayrık yollar problemi , Kombinatoryal Teori Dergisi, Seri B 63 (1) 65-110, 1995. doi: 10.1006 / jctb.1995.1006

Küçük-kapalı grafik özelliklerinin bir sorunu, "küçük" olmalarıdır; bir küçük bile hariç olmakla birlikte çok sayıda grafik hariçtir. Bu belki de Robertson-Seymour yapısal ayrışmasının işe yaramasının bir nedenidir: güzel bir yapıya kavuşmaları için yeterince az sayıda grafik var.

• Serguei Norine, Paul Seymour, Robin Thomas ve Paul Wollan, Uygun olmayan küçük aileler, Kombinatoryal Teori Dergisi, Seri B 96 (5) 754–757, 2006. doi: 10.1016 / j.jctb.2006.01.006 ( önbaskısını )

Küçük kapalı sınıfların ötesine geçme girişimi, yasak alt yazılar veya yasaklı alt yazılar tarafından tanımlanan sınıflar aracılığıyla gerçekleştirilir.

Sonlu bir dizi yasaklanmış alt yazı veya uyarılmış alt yazı tarafından tanımlanan grafik özellikleri , tüm olası alt yazıların incelenmesiyle polinom zamanında kararlaştırılabilir.

$F$$F$$F$$F$

$F$

$F$$F$$F$$F$

• Maria Chudnovsky ve Paul Seymour, Uyarılmış alt yazılar hariç , Kombinatorikte Araştırmalar 2007, 99-119, Cambridge University Press, ISBN 9780521698238. ( ön baskı )

$F$$F$$F$

Kafes temelli küçültme (LLL algoritması). Bu, verimli tamsayılı polinom çarpanlara ayırma ve doğrusal uyumlu jeneratörlerin ve düşük dereceli RSA'nın kırılması gibi bazı verimli kriptanalitik algoritmaların temelini oluşturur. Bir anlamda Öklid algoritmasını özel bir durum olarak görebilirsiniz.

Lenstra'nın sınırlı boyutta tamsayılı programlama, Lenstra-Lenstra-Lovasz algoritması ve ilgili sonraki algoritmalar - Barvinok'un sınırlı boyutta bir IP problemine tamsayı çözümlerinin sayısı algoritması ve Kannan'ın Frobenius / Sylvester problemi için P-algoritması problemi eklenebilir. özel bir kategori. Burada dikkat çekici bir açık sorun, Presburger Hiyerarşisinde daha yüksek dereceli problemler için bir P algoritması bulmaktır.

Bahsetmeye değer başka bir P algoritması sınıfı, rastgele ispatlarla var olduğu kanıtlanan nesneye verilen P algoritmasıdır. Örnekler: Lovasz-Local Lemma uygulamaları için algoritmalar; Spencer tutarsızlık sonucunun algoritimik versiyonları; (biraz farklı lezzetten) Szemeredi düzenlilik lemmasının algoritmik versiyonları.

Polinom-zaman algoritmaları olan sabit-şablon kısıtlama memnuniyet problemleri sınıfları hakkında geniş ve hala büyüyen bir teori bütünü vardır. Bu çalışmanın çoğu Hobby ve MacKenzie kitabının ustalığını gerektiriyor , ancak neyse ki bilgisayar bilimi ile evrensel cebirden daha çok ilgilenenler için, bu teorinin bazı bölümleri artık bir TCS izleyicisine erişebilecek kadar basitleştirildi.

$\Gamma$$S$$T$$\Gamma$$S$$T$

$\Gamma$$k \ge 3$$k$$\Gamma$$(0,0,\dots,0)$$S$$0$$T$

$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$; Bu, pratikte, problem sınıfının bir kısıtlayıcı çözücüsü tarafından düşünülen, birbirini takip eden daha basit alt problemleri içerdiği anlamına gelir, bu nedenle kısıt çözme süreci, "kolay" problemleri çözerken "zor" ara durumlar oluşturmaktan kaçınır.

$\Gamma$$\Gamma$

Bugüne kadar elde edilen sonuçlar, yukarıdaki gibi, her ilişkide sabit bir bağlantıya sahip olan problemleri bu tür problemlere dönüştürebilen altta yatan bir erişilebilirlik durum alanının bir tür genel güçlendirici dönüşümü olması gerektiğini gösteriyor gibi görünmektedir. (Bu devam eden araştırmanın benim kişisel yorumudur ve iyi tamamen yanlış olabilir halkalı şartlarına cebirleri için bir algoritmaya devam eden arama nasıl eleştirdiğini bağlı, bu yüzden bu sözünü geri hakkı saklıdır.) Orada zaman olduğu bilinmektedir değil mi 't bu tür bir dönüşüm daha sonra sorun NP tamamlandı. İkili varsayımın cephesi şu anda bu boşluğu kapatmayı içermektedir; 2011 Cebir ve CSP Çalıştayındaki açık problemler listesine bakınız .

Her iki durumda da, bu muhtemelen Scott'ın listesine bir girişi hak ediyor.

PTIME'daki ikinci bir sınıf, bir çözüm bulunana veya çözüm bulunamayana kadar olası çözümleri budamak için yerel tutarlılık tekniklerinin uygulanmasına izin verir. Bu aslında çoğu insanın Sudoku sorunlarını çözme şeklinin karmaşık bir versiyonudur. Bu nedenin şu anda Scott'ın listesinde de olduğunu sanmıyorum.

$\Gamma$

Son olarak, Manuel Bodirsky'nin sonsuz etki alanları için başlattığı çok heyecan verici çalışma da var . Algoritmaların bazıları oldukça garip görünüyor ve sonuçta Scott listesinde daha fazla girişe yol açabilir.

Chandra'nın buna sadık kaldığını görüyorum, ancak bence LP gevşemesinin yapısı (örneğin tamamen eşitsizlik nedeniyle) polinomiteye yol açan yaygın bir "yapı" biçimidir. Büyük bir poli zaman algoritmaları sınıfını oluşturur. Eğer biri vaat problemleri içeriyorsa, büyük bir yaklaşım algoritması sınıfını da oluşturur. LP'lerden ve / veya SDP'lerden takip etmeyen sebeplerin en sık görülen sınıfları Gauss eleme ve dinamik programlamadır. Elbette basit açıklamaları olmayan holografik algoritmalar gibi diğerleri de var.