Aralık listeleri arasındaki monoton bijeksiyonlar

Aşağıdaki sorunum var:

Giriş: iki set ve aralığı (tüm uç noktalar tamsayılardır). Sorgu: monoton bijection var mı? $S$ $T$
$f:S \to T$

Bijection, ve ayarlanan dahil etme düzeni ile monotondur . $S$ $T$

\forall X \subseteq Y \in S, f (X) \subseteq f (Y)

$\forall X\subseteq Y \in S, \ f(X) \subseteq f(Y)$

[Burada ters koşul gerektirmiyorum. Güncelleme: ters koşul gerekiyorsa, yani , o zaman PTIME içinde olur, çünkü ilgili dahiliyetin izomorfizma testine eşittir (var Posets sipariş boyutu Möhring tarafından ptime olup, yapı 2) sıralı kümeler Hesaplamayla Çekilebilir Sınıflar , teoremi 5.10, s. 61. $\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y)$ ]

Sorun : verilen bir monoton bir olup olmadığını verimli bir şekilde kontrol edebiliriz . $\mathsf{NP}$ $f$

Bu sorun için bir polinom-zaman algoritması var mı? Yoksa -hard mı? $\mathsf{NP}$

Soru daha genel olarak, 2. boyut siparişi verilen iki poz arasında monoton bir bağlantının varlığı olarak ifade edilebilir .

Bu sorunun yanıtlarından esinlenen bir azaltma kullanarak , boyutlar kısıtlanmadığında sorunun -hard olduğunu biliyorum . Ancak, boyutlar kısıtlandığında küçültmenin de işe yarayıp yaramayacağı açık değildir. $\mathsf{NP}$

Ayrıca, boyut sadece rastgele bir sabitle sınırlandığında izlenebilirliği bilmekle ilgileniyorum (sadece 2 değil).

— a3nm
kaynak

Bu açgözlü yaklaşım için karşı örnekler var mı: aralıklarını azalan uzunluklarına göre sıralayın; bu şekilde bir düğüm ağacı oluşturun: sonra kenar ekleyin , aynı uzunlukta birden çok aralık varsa ilesonra en ve kenar ekleyin . Gelen kenarları olmayan düğümlere bağlı bir kök ekleyin. için benzer bir ağaç oluşturun , ardından iki ağacın izomorfik olup olmadığını kontrol edin.

S

$S$

I_{1}, I_{2}, . . ., I_{n}

$I_1,I_2,...,I_n$

n + 1

$n+1$

I_{i} \subseteq I_{j}

$I_i \subseteq I_j$

(I_{j} \to I_{i})

$(I_j \rightarrow I_i)$

I_{i} \subseteq I_{j_{1}}, . . ., I_{j_{m}}

$I_i \subseteq I_{j_1},...,I_{j_m}$

| I_{j_{1}} | = | I_{j_{2}} | = . . . = | I_{j_{m}} |

$|I_{j_1}|=|I_{j_2}|=...=|I_{j_m}|$

(I_{j_{k}} \to I_{i})

$(I_{j_k} \rightarrow I_i)$

T

$T$

— Marzio De Biasi

Bir aralık, birbiriyle karşılaştırılamaz aralıklara dahil edilebilir, örneğin [2, 3] [1, 3] ve [2, 4] 'e dahil edilir, bu yüzden ağaç yapınızın bir ağaç değil, yönlendirilmiş bir asiklik grafik vereceğini düşünüyorum. İki DAG'ın izomorfik (ya da daha doğrusu sorduğum anlamda gömülebilir) olup olmadığını kontrol etmek genel olarak NP-zordur.

— a3nm

Haklısın, yukarıdaki yaklaşım doğru değil!

— Marzio De Biasi

De Biasi'nin cevabına göre, olduğunda sorun GI tamamlandı . Ancak yayınınız PTIME'de olduğunu belirtir. Hangisi doğru?

\forall X, Y, X \subseteq Y \Leftrightarrow f (X) \subseteq f (Y)

$\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y)$

— Muhammed Al-Türkistan

@ Muhammed-Türkistan:

— Marzio'nun

İşte ters koşul olmadan sorunun NP-zor olduğunu kanıtlamak için bir girişim.

Temel fikir bu ayrık aralıkları olan bunun gibi: $S$

 [S]  +-a-+ +-b-+
      +---c-----+  c<a, c<b (here < is interval inclusion)

" piramit " ile geçerli bir eşleme olabilir : $T$

 [T]  +-x-+      f(a)=x, f(b)=y, f(c)=z
      +-y---+    
      +-z-----+  z<x, z<y OK

Azalma Unary 3-Partition'dan (NPC) alınmıştır. Verilen tamsayılar ve bir tamsayı , does içinde A'nın bir bölüm var setleri böyle her o tam 3 unsurları var ve toplamları ? $3m$ $A = \{a_1,a_2,...,a_{3m}\}$ $B$ $m$ $A_1,...,A_m$ $A_i$ $B$

Diyelim ki $max = \sum a_i + 3m$

Biz inşa ekleyerek taban aralıkları uzunluğunun biz eklemek aralık her tabanının üstüne, (şekilde kırmızı çizgiler) işaretleyici piramit içinde (şekilde yeşil çizgiler) uzunluğu arttıkça aralıklarla. Aralığı baza da eklemek ayrık ünitesi aralıkları uzunluğu 1 (şekilde siyah çizgiler). Son olarak tüm (şekilde mavi çizgi) için uzun bir aralığı . $S$ $3m$ $BI_i$ $3*max$ $max$ $BI_i$ $a_i$ $L$ $BI_i$

Sonra bir kopyasından başlayarak , sonra her biri marker piramitlerinin kesişmeyeceği şekilde uzatılmış üç yığılmış taban aralığının bir kopyasıyla yapılan toplam grupları (bkz. Kırmızı + yeşil çizgiler şeklin alt kısmı). Daha sonra, üç temel aralıklarının üzerine eklemek bir toplamı piramit arasında (işaret piramitleri ayrık) yüksek uzunluktaki aralıklarla. $T$ $L$ $m$ $G_j$ $G_j$ $B$

S ve T arasında aralık dahilini koruyan (B'den T'ye bir yönde) bir bijeksiyon olduğunu varsayalım.

Daha sonra S'nin her işaretleyici piramidi, T'deki bir işaretleyici piramidine ( aralıklarla bir ekleme zincirine sahip olmanın tek yolu) karşılık gelmelidir , bu nedenle tam olarak üç temel aralık ( ) , her bir grubuna . Ayrıca, birim aralıkları eşlemlenmelıdır toplamı piramit arasında ve farklı gruplar arasında "değiş tokuş" edilemez. $max$ $BI_{j_1},BI_{j_2},BI_{j_3}$ $S$ $G_j$ $BI_{j_k}$ $G_j$

Benzer şekilde, bir bijeksiyon varsa, o zaman orijinal tekli 3-bölümlü sorunun bir çözümü olduğu kanıtlanabilir.

resim açıklamasını buraya girin Tekli 3 bölümlü problemden azaltma örneği $m=2, A = \{3,3,2,2,2,2\}, B = 7$

Not: yorumlarda görüldüğü gibi S ve T'deki mavi L aralıkları azalma için gerekli değildir.

Ters koşul da gerekiyorsa, ark oluşturmak için ilişkisini kullanarak iki DAG oluşturabilirsiniz . İki DAG izomorfik ise, her iki yönde aralıklı dahil edilen bir bijeksiyon mevcuttur. Dolayısıyla, sorun GI-complete olan DAG izomorfizm probleminden daha zor olamaz (ve bunun NP-tamamlanmış olduğunu kanıtlarsanız, GI'nin NP-tamamlanmış olduğunu da kanıtlarsınız). $I_i \subseteq I_j$ $(I_j \rightarrow I_i)$

— Marzio De Biasi
kaynak

Evet, bu doğru görünüyor, çok teşekkürler! (Sadece bir açıklama: azaltmanın işe yaraması için mavi aralıkların gerekli olmadığını düşünüyorum.) Bu azaltmanın işe yaradığından şüphe etmek için bir neden bulamadığım sürece yakında kabul edeceğim.

— a3nm

@ a3nm: evet ama figürü çizdikten sonra keşfettim :-). Hala% 100 azaltmada hiçbir gizli hata olmadığından emin değilim (ayrıca iki haftada ikinci kez, tekli 3 bölümlü bir NP tam kanıtı buldum ... çok garip :-)

— Marzio De Biasi

Hayır, doğru görünüyor: açıkça 3 bölümlü bir çözüm, aralık problemine bir çözüm verir. Şimdi, aralık probleminden 3 bölüme kadar: mutlaka bir aralık eşleme, kırmızı aralıkları kırmızı aralıklarla eşler (işaretleyici piramitler nedeniyle); Aynı sayıda kırmızı aralık böylece eşleme tarafından görüntüdeki aralık kırmızıdır. İşaretçiler sağ kırmızı aralığa eşleştirilir (aksi takdirde bu bir alt öğe ve minimumluktur). Şimdi kırmızı kırmızıya ve işaretçiler beklendiği gibi eşlendiyse, sayılar eşleşmelidir, bu yüzden doğru bir bölümümüz var. Sanırım mantıklı!

— a3nm

@ a3nm: Cevabı kabul ettiğinizi gördüm; sonucun ortak bir makale yazmak için yeterince ilginç olduğunu düşünüyor musunuz?

— Marzio De Biasi

Tek başına, bir makaleyi hak edecek kadar "şaşırtıcı" olduğunu düşünmezdim ... ve ben sadece mütevazı bir doktora öğrencisiyim ve bunu sunacak bir konumda değilim. Daha güçlü bir sonuç için, önemsiz olmayan bir PTIME algo ile bazı izlenebilir kısıtlamalarla karşılaştırmak güzel olurdu ... Hala merak ediyorum, örneğin, toplam bir sipariş ise ne olur , ancak tüm aralıkların bir "rengi var "o saygı duymalı (biraz cstheory.stackexchange.com/q/19073/4795 boyut 2 ile sınırlı)? Bence PTIME azalması nedeniyle mevcut problemden daha zor değil, ama izlenebilir bir algo olduğunu bilmiyorum.

T

$T$

f

$f$

— a3nm