Dil üretmek için en küçük Boole devresi

uzunluğundaki ikili dizelerin boş olmayan dilini düşünün . , girişli bir Boolean devresi ile ve doğru olduğunda bir çıkışla tanımlayabilirim : bu iyi bilinir.n L C n C ( w ) w ∈ $L$$n$$L$$C$$n$$C(w)$$w \in L$

Ancak, temsil etmek istiyorum bir Boolean devresi ile ile çıkışları ve girişlerin belirli sayıda ki çıkış değerler kümesi, öyle ki, her biri için olası girdi tam olarak .C ′$L$$C'$$n$ C ′ 2 m$m$$C'$$2^m$$L$

verildiğinde , minimum boyutta böyle bir devresini nasıl bulabilirim ve karmaşıklık nedir? Birinci tür ( ) devrelerin boyutu ve bu ikinci tür ( ) devreler veya bunları bulmanın karmaşıklığı hakkında bilinen sınırlar arasında bir ilişki var mı ?C ′ C C $L$$C'$$C$$C'$

Verilen: (aşağıdaki anlamda Dualite bir tür olduğu dikkate bir girdi sözcüğü halinde kolayca karar verebilir, içinde devresi değerlendirerek, ancak bazı kelimeyi bulmak için genel olarak NP-zor olan bulgusuyla çıktı doğrudur şekilde bir atama. Verilen karar vermek aynı şekilde NP-zor ise bazı giriş kelimesi ise bir atama verimleri olmadığını görmek zorunda çünkü çıktı olarak, ancak bazı kelime bulmak kolaydır devreyi herhangi bir rastgele girişte değerlendirerek.)w L L C ′ w L w $C$$w$$L$$L$$C'$$w$$L$$w$$L$

Belirsiz olmayan devrelerle basit bir bağlantıya işaret edeceğim ve kriptografik sertlik hakkında kısaca yorum yapacağım.

İçin , tanımlama görüntü karmaşıklığı, gösterilen ı m c ( S ) bir (fanin iki VE / VEYA /) Boole devre içinde kapılarının az sayıda olarak, C : { 0 , 1 } m → { 0 , 1 } n görüntüsü S olan . Soru işlem karmaşıklığına sorar ı m c ( S ) bir doğruluk tablo temsili göz önüne alındığında, $S \subseteq \{0, 1\}^n$$imc(S)$$C: \{0, 1\}^m \rightarrow \{0, 1\}^n$$S$$imc(S)$$S$( uzunluğunda bir dizi ).$2^n$

Ayrıca tanımlamak nondeterministic devre karmaşıklığını ve biz ifade edeceğiz n c c ( S ) küçük nondeterministic devre olarak, C ( x , y ) : { 0 , 1 } , n + m ' → { 0 , 1 } tam olarak kabul S . Bu, biz gerektirirler C olduğu X ∈ S IFF ∃ Y : C ( $S$$ncc(S)$$C(x, y): \{0, 1\}^{n + m'} \rightarrow \{0, 1\}$$S$$C$$x \in S$ . Bu durum eşit olmayan sınıfını tanımlamak için kullanılan standart bir kavram, bir N P / p O l y : tüm kümelerin sınıf S = { S n } , n > 0 olan, S N ⊆ { 0 , 1 } , n , öyle ki n c c ( S n ) ≤ p o l y ( n ) .$\exists y: C(x, y) = 1$$NP/poly$$S = \{S_n\}_{n > 0}$$S_n \subseteq \{0, 1\}^n$$ncc(S_n) \leq poly(n)$

Belirtmek istediğim şey . Bu eşitsizliğin her iki yönünü de doğrulamak kolaydır. $imc(S) = ncc(S) \pm O(n)$

Let belirleyici devre karmaşıklığını belirtmektedir. Razborov-Rudich Dai Le belirli şifreleme varsayımlar altında, gerçeği masalar ayırt hesaplama zor olduğunu gösterir (kabaca burada konuşma) söz edilen kağıt kullanılması S ile D C c ( S ) gerçekten rasgele gerçeği-tablolardan küçük, S ( d c c ( S ) maksimale yakın). Rastgele S da sahip N c c ( S ) yaklaşık-maksimal, ve tabii ki var$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$ncc(S)$ . Yani probleminiz aynı varsayımlar altında zor.$ncc(f) \leq dcc(f)$

, d c c ( S ) veya n c c ( S ) için bir doğruluk tablosu verildiğinde hangisinin hesaplanması daha zordur ? Her iki şekilde de bir azalma var mı? Bilmiyorum.$S$$dcc(S)$$ncc(S)$

Kabanets ve Cai'nin bu makalesine bir göz atmalısınız. Makalenin özetini alıntılayacağım:

Boole fonksiyonu doğruluk tablosu verilmiştir: Biz devre minimizasyonu sorunun karmaşıklığını incelemek ve parametre ler , karar f en fazla boyutta bir Boole devre ile gerçekleştirilebilir s . Bu tür bir varsayımın bir dizi şaşırtıcı sonucunu vererek bu sorunun neden P'de (hatta P / p o l y'de ) olma olasılığının düşük olduğunu tartışıyoruz . Ayrıca, bu sorunun N P- komplet olduğunu kanıtlamanın (gerçekten de doğruysa) , şu anda bilinen tekniklerin ötesinde görünen E sınıfı için güçlü devre alt sınırlarını kanıtlayacağını iddia ediyoruz .$f$$s$$f$$s$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}/\mathsf{poly}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{E}$

Devre, ancak Eğer hesaplayan bir fonksiyon söz F : { 0 , 1 } m → L , bir devrelerin dizisi olarak düşünebiliriz Cı ' 1 , Cı ' 2 , ... , Cı ' n , Cı ' i hesaplar ı t h çıkış biti F . Her C ′ i bir boole işlevini { 0 , 1 } m hesapladığından$C'$$F:\{0,1\}^m \rightarrow L$$C'_1,C'_2,\ldots,C'_n$$C'_i$$i^{\rm th}$$F$$C'_i$ , C ′ i devrelerinin minimizeedilmesi yukarıdaki sonuca göre zor görünüyor.$\{0,1\}^m\rightarrow \{0,1\}$$C'_i$