Bir sorunun tam karmaşıklığı

9

İzin Vermek $x_i \in \{-1,0,+1\}$ için $i \in \{1,\ldots,n\}$ , söz ile $x = \sum_{i=1}^n{x_i} \in \{0,1\}$ (toplamın bittiği yer $\mathbb{Z}$ ). Öyleyse, $x = 1$ ?

Önemsiz olarak sorunun içinde bulunduğuna dikkat edin $\cap_{m \geq 2}{\mathsf{AC}^0[m]}$ Çünkü $x \equiv 1\bmod{m}$ iff $x = 1$ . Soru şu: Sorun $\mathsf{AC}^0$ mı var? Eğer öyleyse, buna tanık olan devre nedir? Değilse, bunu nasıl kanıtlarsınız?

— Samid
kaynak

Bu sorun önemsiz olabilir ama cevabı bilmiyorum ve bunu bilmekle çok ilgileniyorum.

— SamiD

7

Her zamanki anahtarlama lemma argümanını kullanabilirsiniz. Girdinizi ikili dosyada nasıl temsil ettiğinizi açıklamadınız, ancak herhangi bir makul kodlama altında, aşağıdaki işlev AC işlevinize eşdeğerdir: ( çift olduğunu varsayarız .) Bu ders notlarını takiben , boyutunda bir derinliği devresi ile hesaplanabileceğini varsayın . Daha sonra girdilerinin rastgele bir kısıtlaması, en fazla karar ağacı karmaşıklığı işlevi bırakır $^0$

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{cases} 0 & if x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + \dots - x_{n} = 0, \\ 1 & if x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + \dots - x_{n} = 1, \\ ? & otherwise. \end{cases}

$f(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} 0 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 0, \\ 1 & \text{if }x_1 - x_2 + x_3 - x_4 + \cdots - x_n = 1, \\ ? & \text{otherwise.} \end{cases}$

n

$n$

f

$f$

d

$d$

n^{b}

$n^b$

n - n^{1 / 2^{d}}

$n - n^{1/2^d}$

2^{d} (b + 1) + 1

$2^d(b+1)+1$ En az olasılıkla . Bir hesaplama muhtemelen bu başka bir örneği olduğunu gösterir olasılık ile (daha küçük bir giriş boyutu) ve bu yüzden bu verimler bir örneğini hem rastgele bir sınırlama yoktur ile girdiler ve sürekli karar ağacı karmaşıklığı olan bir işlev, çelişkiye yol açar. Aynı argüman üstel alt sınırlar getirmelidir.

1 - 1 / (3 n)

$1-1/(3n)$

f

$f$

Θ (1 / \sqrt{n})

$\Theta(1/\sqrt{n})$

f

$f$

n^{1 / 2^{d}}

$n^{1/2^d}$

— Yuval Filmus
kaynak

Bence bu işlevin toplam hassasiyeti de , bu yüzden muhtemelen cevabımda üstel alt sınır elde etmek için kullanabilirsiniz. Burada ortaya çıkan sonuç, düşük karar ağacı karmaşıklığının işlev spektrumunda anahtarlama lemma + basit sınırları kullanan Linial-Mansour-Nisan teoremini kullanıyor.

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

— Sasho Nikolov

7

Bunun AC0'da olduğunu düşünmüyorum ve olduğunda ve ayırt etmekle ilgili söz verme problemi için bir alt sınır gösterebilirim . Sorununuz için benzer Fourier teknikleri uygulanmalıdır, ancak bunu doğrulamamıştım. Ya da belki basit bir azalma var. $\sum x_i = 0$ $\sum x_i = 2$ $x \in \{-1, 1\}^n$

Varsayalım bir boyutu vardır derinliği bir işlev hesaplar devre bu şekilde her . Çünkü rasgele için , olasılığı olan , ve her bir için vardır değerini değiştirmek koordinatları , toplam etkisi olduğu $s$ $d$ $f: \{-1, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$ $f(x) = \sum_i x_i$ $\sum_i x_i \in \{0,2\}$ $x$ $\sum_i x_i = 0$ $2^{-n} {n \choose n/2} \approx n^{-1/2}$ $x$ $n/2$ $f$ $f$ $\Omega(n^{1/2})$ (kabaca çoğunluk ile aynıdır (çünkü çoğunluğun hassas girdilerinin çoğunu dahil ettiniz). Bir Hastad teoremiyle (Ryan O'Donnel'in notlarındaki Colorraly 2.5'e bakın ), bu

s \geq 2^{Ω (n^{1 / (2 d - 2)})} .

$s \geq 2^{\Omega(n^{1/(2d-2)})}.$

— Sasho Nikolov
kaynak