Uluslararası taslakları doğru oynatmak NP-zor mu?

Aşağıdaki sorun NP zor mu?

Bir tahta konfigürasyonunu Verilen uluslararası taslaklar , tek bir tüzel hamleyi bulmak.$n\times n$

Amerikan damaları için (yani İngilizce taslaklar) buna karşılık gelen problem polinom zamanında önemsiz bir şekilde çözülebilir. Bu iki oyun arasında üç ana fark var.$n\times n$

İlk ve en önemli fark “uçan kral” kuralıdır. Damalarda, bir kral bitişik bir rakibin taşının üzerinden , herhangi bir çapraz yönde iki adım uzakta boş bir kareye atlayabilir . Uluslararası taslaklarda, bir kral, çapraz bir köşedeki isteğe bağlı bir mesafeyi hareket ettirerek rakibin taşının üzerine keyfi bir mesafeden atlayabilir .

Damalarda olduğu gibi, aynı parça, bir sıra halinde bir parça parçayı yakalamak için kullanılabilir. Bununla birlikte, damaların aksine, uluslararası taslaklardaki yakalanan parçalar, dizinin tamamı sona erene kadar kaldırılmaz. Yakalama parçası aynı boş kareye birden çok kez atlayabilir veya düşebilir, ancak bir rakibin taşından bir kereden fazla atlamaz.

Son olarak, hem dama hem de uluslararası taslaklar zorunlu bir yakalama kuralına sahiptir: Bir rakibin taşını yakalayabiliyorsan, yapmalısın. Ancak, kurallar çoklu için birkaç seçenek olduğunda aynı fikirde değildir. Ekose desenlilerde, herhangi bir maksimum yakalama dizisi seçebilirsiniz ; Başka bir deyişle, yakalama parçası artık yakalayamadığında biten herhangi bir yakalama sırasını seçebilirsiniz. Uluslararası taslaklar, sen gerekir seçim en uzun yakalar dizisi. Dolayısıyla benim sorunum şuna eşdeğerdir :

uluslararası taslaklar için bir pano yapılandırması göz önüne alındığında , en fazla karşıt parça sayısını yakalayan bir hareket bulun.$n\times n$

Aşağıdaki sorunun NP tamamlandı olduğunu kanıtlamak yeterli olacaktır. (Belli ki NP'de.)

Bir tahta yapılandırmasını Verilen uluslararası taslakları sadece krallar kapsayan , can (ve bu nedenle mutlaka) bir oyuncu yakalama tüm tek sırayla onun rakibinin parçaları?$n\times n$

Karşılık gelen dama problemi polinom sürede cevaplanabilir; Bu eğlenceli bir ev ödevidir. Sorun Demaine, Demaine ve Eppstein'ın Phutball bitiş oyunlarını incelemesine benziyor ; eğlenceli ödev alıştırmasına bir çözüm, makalelerinin sonunda görünür. FOCS 1978 belgesinde Frankel ve ark. Bu, dama oynamaktan en iyi şekilde faydalanabileceğinizi kanıtlar; ayrıca bkz. Robson'ın 1984 , damaların EXPTIME ile tamamlandığını gösteren kanıtı .

Tamam, işte indirim. Ne de olsa düzlemciliğe ihtiyacınız olmadığını ortaya koyuyor. Ayrıca, "yasal bir hamle bulma" için, karar sorusunu "X yasal mı?

İlk önce, parçaların köşegen yerine ortogonal hareket ettiği bir oyunla çalışalım. Bu oyun kullanmayacağımız kenar özellikleri dışında eşittir (sadece taslak panosuna 45 derece döndürülmüş olarak bakın). İki gadget kullanıyoruz: birleştirme / bölme ve çaprazlama. Http://www.hearn.to/draughts.pdf adresine bakınız . Tahtada hareket edecek tek bir beyaz kral olduğunu varsayıyoruz. (Başka hiçbir parça önemli sayıda parça yakalayamaz.) Belirtilen koridorlardan geçerek yol boyunca siyah parçaları yakalayacaktır.

Birincisi, birleştirme: Kral N yollarından herhangi birine girerse (siyah bir parçanın yakalanmasıyla, gösterilmiyorsa), B'den çıkabilir. Herhangi bir A yolu boyunca çıkabilir (yine harici siyah bir parça yakalar). Bu tek kullanımlık bir gadget'tır (çünkü çıkış siyahı yalnızca bir kez yakalanabilir).

İkincisi, çaprazlama. Kral A (C) üzerinden girerse, B (D) 'den çıkabilir. Ortada duramaz ve rotaları değiştiremez, çünkü yakalamayan bir hareket parçası olacaktır.

Şimdi, yönlendirilmiş bir grafik verildiğinde, aşağıdaki gibi uygun bir oyun yapılandırması oluşturun. Her köşe için, bir bölünmeye beslenen bir birleştirme oluşturun. Bölünmüş çıktıları, gerektiğinde geçitler kullanarak, çıkmakta olan kenarların bağlandığı köşelere karşılık gelen tepe aygıtlarının birleştirme girişlerine (birleştirme + bölme) yönlendirin. Kralı herhangi bir tepe noktasına ek bir girdiyle başlatın (tepe noktasına girmesini sağlamak için yakalamak için siyah bir parça ile).

Son olarak, gerektiği şekilde çıkış / giriş yolları boyunca ekstra siyah parçalar ekleyerek tüm "kenar uzunluklarını" eşitleyin. V köşeleri ve her bir kenar boyunca k siyah parçaları varsa, kral sadece ilgili grafiğin bir Hamiltonian devresi varsa ve eğer 2V + kV + 1 adet yakalayabilir. Eğer kralın alternatif bir hamlesi varsa, 2V + kV'luk basit bir zincir yakalar ve bu alternatif hamlenin yasal olup olmadığını tespit etmek NP tamamlanır.

İşte Bob'un azaltılmasına, bu sefer (yönlendirilmemiş) Hamiltonian döngüsünden olası bir alternatif. Ayrıntıların doğru olduğuna% 100 emin değilim - zaten birkaç sorunu buldum ve düzelttim - ancak bunun doğru bir kanıt haline getirilebileceğinden eminim. Bob'un işaret ettiği gibi, bu azaltmanın ciddi bir yanı vardır; beyaz kral kolayca tahtadaki kanonik yolundan kurtulabilir. Bu hata Bob'un çapraz geçiş aygıtı uygun konumlara eklenerek giderilebilir (bence) , ancak sonra düşürülmesinden önemli ölçüde farklı değildir.

$G$$n$$m$$G$$-1$

$O(n^2)\times O(n^2)$$O(n^2+m)$$k$$k$$hn$$h$

$k$$k$$k$$(i,j)$$i$$j$$x$$y$

$hn^2+4n$$G$

Şimdi, tezim üzerinde çalışırken neden bu sorunu bana söylemedin?

Tamam, Planar Directed Hamiltonian Cycle'dan bir indirim yaptım.