Hiperdoctrinler ve Monadik İkinci Mertebeden Mantık

Bu soru aslında Mathoverflow hakkında sorduğum soru .

Monadik İkinci Mertebeden (MSO) mantık, tekli tahminlere göre niceliğe sahip ikinci mertebeden mantıktır. Yani, setler üzerinden nicemleme. Bilgisayar biliminde incelenen yapılar için temel olan birkaç MSO mantığı vardır.

Soru 1. Monadic İkinci Mertebeden Mantık için kategorik bir anlambilim var mı?

Soru 2. Kategorik mantığın muameleleri genellikle "yüksek dereceli sezgisel mantık" hakkında konuşur. İkinci dereceden tahminler yerine nicemlemeden ziyade daha yüksek mertebeden fonksiyonlara atıfta bulunduklarını varsaymak doğru mudur?

Soru 3. (Neel cevabından sonra 08 Kasım 2013, eklendi) Birinci dereceden nicemleme anlayışım (aşağıda belirtilen Pitts'in sunumu açısından), bir projeksiyon morfizminin geri çekilmesi ile tanımlanmasıdır. . Özellikle, dünya çapında ölçme sağ eşlenik olarak yorumlanır ve varoluşsal ölçümü sol eşlenik olarak yorumlanır . Bu bitişikler, bazen Beck-Chevalley ve Frobenius-Karşılıklılık koşulları olarak adlandırılan bazı koşulları karşılamalıdır.$\pi^*$$\pi$$\pi^*$$\pi^*$

Şimdi, Kartezyen kapalı bir kategorideyim varsaydığım tahminleri ölçmek istiyorsak, resim neredeyse aynıdır, ancak aşağıdaki öncekinden farklı bir yapıya sahip olması dışında .$X$

$$\exists_{I,X}, \forall_{I,X}: P_C(I\times X) \to P_C(I)$$

Bu doğru mu?

Zihinsel bloğumun daha önce birinci dereceden hiperdoctrinlerle uğraştığım ve Kartezyen kapalı olması için kategoriye ihtiyaç duymadığından ve daha sonra düşünmediğime inanıyorum.

Arkaplan ve Bağlam. Bilgisayar Bilimlerinde Mantık El Kitabı makalesinde Andy Pitts'in kategorik mantığının sunumuyla çalışıyorum , ancak doktora tezinde Tripos teorisinin yanı sıra Awodey ve Bauer notlarının tedavisine de aşinayım. Crole'un Tür Kategorilerini ve Lambek ve Scott'ın kitabını incelemeye başladım , ancak son iki metne danıştığımdan beri bir süre geçti.

Motivasyon için, aşağıdaki teoremlerde görünen MSO mantıklarıyla ilgileniyorum. Bunlardan birine açıkça eşdeğer bir mantıkla uğraşmak istemiyorum. Yani, monadik tahminleri daha üst düzey fonksiyonlar açısından kodlamak ve daha sonra başka bir mantıkla uğraşmak istemiyorum, ancak başlık altında böyle bir kodlama içeren bir anlambilim çalışmaktan mutluluk duyuyorum.

1. (Buechi ve Elgot Teoremi) Yapıların evreni sonlu bir alfabe üzerinde sonlu kelimeler olduğunda, bir dil MSO'da birbirini izleyen pozisyonları ifade etmek için yorumlanmış bir yüklemle tanımlanıyorsa düzenlidir.
2. (Buechi Teoremi) Yapıların evreni sonlu bir alfabe üzerinde -words olduğunda, bir dil tam olarak MSO'da uygun bir yorumlanmış yüklem ile tanımlanabiliyorsa düzenli olur.$\omega$$\omega$
3. (Thatcher ve Wright Teoremi) Bir dizi sonlu ağaç, tam olarak yorumlanmış bir yüklem ile MSO'da tanımlanabiliyorsa, aşağıdan yukarıya bir sonlu ağaç otomatıyla tanınabilir.
4. WS1S , Bir Halef'in Zayıf Monadik İkinci mertebeden teorisidir. Formüller doğal sayı kümelerini tanımlar ve ikinci dereceden değişkenler sadece sonlu kümeler olarak yorumlanabilir. WS1S, doğal sayı gruplarını sonlu kelimeler olarak kodlayarak sonlu otomata ile kararlaştırılabilir.
5. (Rabin'in Teoremi) S2S , İki Haleflerin İkinci derece teorisidir. S2S'ye Rabin otomata karar verebilir.

1. Bilmiyorum!

2. Hayır, varsayımınız doğru değil. IHOL'da daha üst düzey işlevler ve tahminleri ölçebilirsiniz (aslında, tahminler sadece bir tür önermenin işlevleridir). Kurulum biraz şuna benzer:

   $$\begin{array}{llcl} \mbox{Sort} & \omega & ::= & \omega \to \omega \;\; | \;\; \omega \times \omega \;\; | \;\; 1 \;\;|\;\; \mathrm{prop} \;\;|\;\; \iota\\ \mbox{Term} & t & ::= & x \;\;|\;\; \lambda x.t \;\;|\;\; t\;t' \;\;|\;\; (t,t) \;\; | \;\; \pi_1(t) \;\;|\;\; \pi_2(t) \;\;|\;\; () \\ & & | & p \Rightarrow q \;\;|\;\; \top \;\;|\;\; p \wedge q \;\;|\;\; \bot \;\;|\;\; p \vee q \\ & & | & \forall x:\omega.p \;\;|\;\; \exists x:\omega.p \;\;|\;\; t =_\omega t' \\ & & | & f(\vec{t}) \end{array}$$

Bir terimin iyi biçimliliğini yargılamak için her zamanki yazım kurallarını verirsiniz. İlk terim satırı, her zamanki basit tipli lambda hesabıdır, ikinci iki satır, yüksek dereceli mantığın ( öğeleri olarak yazılmıştır) önermeleridir ve üçüncü satır, bireyleri oluşturmak için kullandığınız sabitlerdir. ( öğeleri ).$\mathrm{prop}$$\iota$

O zaman fikir, hiperdoctrine semantiğini ek yapı ile genişleterek birinci dereceden sezgisel mantık için Kripke semantiğini daha yüksek dereceli mantığa genişletmek istediğinizdir. Birinci dereceden hiperdoctrine, ürünler içeren bir kategorisi (bağlam içindeki terimleri yorumlamak için kullanılır) ve bir pozlar kategorisi (doğruluk değeri kafesleri arasında bir işlevidir. ), oyuncu değişikliğini doğru yapmak için bazı koşulları yerine getirmek.$P : C^\mathrm{op} \to \mathrm{Poset}$$C$

IHOL'a ulaşmak için,

1. $C$ kartezyen kapalıdır (fonksiyon tiplerine göre nicelik belirleme yeteneğini modellemek için) ve
2. $C$ dahili Heyting cebri sahiptir özelliği tatmin eden her için , . modellemek için kullanırsınız ve izomorfizm, türündeki terimlerin gerçekten doğru değerlere karşılık geldiğini söyler . $H$$\Gamma \in C$$\mathit{Obj}(P(\Gamma)) \simeq C(\Gamma, H)$$H$$\mathrm{prop}$$\mathrm{prop}$

Bu yapı neredeyse bir "temel topondur". Eğer ek yapması gerekiyorsa ait subojects bir poşet olan , o zaman ordasın. (Bu aslında mantığınıza bir anlama ilkesi ekleyebileceğinizi söylüyor.) $P(\Gamma)$$\Gamma$