Mi içinde ihtiva edilen ?

Bu soruyu, buradaki diğer kullanıcılar için ilginç olabileceğinden paylaşacağımı düşündüm.

Tek tip bir sınıfta olan ( gibi ) bir fonksiyonun küçük, tek tip olmayan bir sınıfta (örneğin, , yani tek tip olmayan ) olduğunu varsayalım, bu, fonksiyonun daha küçük tek tip bir sınıfta yer aldığını gösterir ( gibi mi? Bu sorunun cevabı olumlu ise, içeren en küçük üniform karmaşıklık sınıfı nedir? Olumsuz, ilginç bir doğal karşı örnek bulabilir miyiz? $NP$ $AC^0/poly$ $AC^0$ $P$ $NP \cap AC^0/poly$

Mi içinde ihtiva edilen ? $AC^0/poly \cap NP$ $P$

Not: Bir arkadaşım sorumu kısmen çevrimdışı olarak cevapladı, kendisi eklemezse cevabını ekleyeceğim.

Buradaki soru şu gayri resmi soruyu resmileştirme girişimidir:

Tekdüzelik, doğal tekdüze problemleri hesaplamada bize yardımcı olabilir mi?

İlgili:

− doğal bir problem için aday var mı ? $P/poly−P$

cc.complexity-theory circuit-complexity uniformity

— Kaveh
kaynak

@Kaveh: Belki ilginç bir soru P / poli ve NP doğal soruna istemeye olurdu, ama değil P. (Ya da belki bu kolay çok mi?)

— Robin Kothari'yi

@Robin: Bu ilginç görünüyor, ama doğal bir problem bulmanın daha kolay olacağını sanmıyorum .

N P \cap P / p o l y - P

$NP \cap P/poly - P$

— Kaveh

@all: Bu soru ve cevaplar hakkında biraz daha düşünmem gerekiyor. Çok doğal bir soru gibi görünüyor. Ama cevaplar rahatsızlık duyuyor: birincisi, biz değiştirerek varsayımı zayıflatabilir ile nerede çok hızlı büyüyen fonksiyonudur; İkincisi, karşı örnek sadece değil, fonksiyon tümü için tüm girdilerinde sabit olduğundan 1 büyüklüğünde devrelere sahiptir ! Bu iki neden, bunun sorulacak doğru soru olmadığını söylüyor olabilir.

N E X P \neq E X P

$NEXP \neq EXP$

N T i m e (f) \neq D T i m e (f)

$NTime(f) \neq DTime(f)$

f

$f$

A C^{0} / p o l y

$AC^0/poly$

n

$n$

n

$n$

— Kaveh

@Kaveh: Belki de Scott Aaronson tarafından tanımlanan YP sınıfına bakmak isteyebilirsiniz. P / poly gibi, ancak "tavsiye" güvenilir değil. Başka bir deyişle, NP, kNP'nin kesiştiği gibidir, ancak tanık yalnızca giriş uzunluğuna bağlı olabilir. YP, P / poli'dir ve tek biçimli bir sınıftır. Belki de YP’de bir sorun ama P’de değil, aradığınız sorunun bir örneği. Tavsiyenin devre tarafından doğrulanması gerektiğinden P / P'de değil, P / poly'da doğal ve homojen olmaz ve muhtemelen önemsiz olur.

— Robin Kothari

@Kaveh: YP sınıfı ("Yoda Polynomial-Time"), Scott'un "Kuantum Devletlerinin Öğrenilebilirliği" adlı makalesinde daha resmi olarak tanımlanmıştır [quant-ph / 0608142]

— Alessandro Cosentino

Yanıtlar:

İşte Ryan'ın cevabını basitleştiren. Farz edelim ki . Dili tanımla . Varsayım çevirir . Ayrıca, trivial . $\Lambda \in NE \setminus E$ $L = \{x : |x| \in \Lambda\}$ $\Lambda \in NE \setminus E$ $L \in NP \setminus P$ $L \in AC^0/poly$

— Yuval Filmus
kaynak

Güzel cevap Yuval!

— Dai Le,

Temel olarak aynı dönüşüm, Kitap 1974'te , E ≠ NE'nin ve sadece NP ∖ P bir tally dili içeriyorsa göstermek için kullanılır.

— Tsuyoshi Ito

Sadece emin olmak için: bunu doğru anlıyor muyum

uzunluğu olan

tekli yazılmış?

| x |

$|x|$

x

$x$

— Vincent,

@ Vincent burada

bir tamsayı yerine bir dizedir ve

uzunluğu.

x

$x$

| x |

$|x|$

— Yuval Filmus,

evet bu beni şaşırtıyor. Eğer

dize uzunluğu, sonra

bir tam sayıdır, yani nasıl bir öğe olabilir

| x |

$|x|$

| x |

$|x|$

Λ

$\Lambda$

— Vincent,

İlk sorunuzun cevabı: Düşük görünüyor.

Teoremi: Eğer daha sonra . $NP \cap AC^0/poly \subseteq P$ $NEXP = EXP$

Bir bit çıkaran bir devresi verildiğinde , C'nin dekompresyonunu , tüm olası girişler üzerinde değerlendirilerek elde edilen bit dizisi olarak tanımlayın . Yani, dekompresyon . $C$ $C$ $C(0^n) C(0^{n-1}1) C(0^{n-2}10) \cdots C(1^n)$

Succinct 3SAT problemini şu şekilde tanımlayın: büyüklüğünde bir devresi verildiğinde , dekompresyonu tatmin edici bir Boole formülü kodlar mı? $C$ $n$ Özlü 3SAT, eksiksiz olduğu iyi bilinmektedir . $NEXP$

Şimdi dili düşünün

{ yazılantamsayı , Succinct 3SAT} 'in evet örneğidir. $L =$ $1^n |$ $n$

olduğu açıktır olup olabildiğince sadece kod gömmek için, olan her biri için, . $L$ $AC^0/poly$ $1^n$ $L$ $n$

aynı zamanda :ikili olarak yazılantamsayı , etrafında uzunluğa sahiptir, bu nedenle bu devrenin dekompresyonu den daha uzun değildir. Bu nedenle, tatmin edici ödevin uzunluğu en fazla . $L$ $NP$ $n$ $\log n$ $O(n)$ $O(n)$

Fakat aynı gözlemlerle, eğer , sonra , çünkü bu, her bir Succinct 3SAT uzunluk örneğine karar vermek için bir zaman algoritmasına sahip olduğunuz anlamına gelir . $L \in P$ $NEXP=EXP$ $O(n^c)$ $\log n$

İkinci sorunuz çok açık (ve açık uçlu).

— Ryan Williams
kaynak

Neden biraz problemi çözmen gerekiyor?

— Yuval Filmus,

Argümanı takip etmeyi kolaylaştırdı.

— Ryan Williams

Cevabınız ve açıklama için Ryan teşekkür ederiz. Sanırım ilk gönderen sen olsan da, Yuval'ın cevabını kabul edersem sorun olmaz.

— Kaveh

Kaveh sorusuna "Düzgünsüzlük, doğal üniforma sorunlarını çözmede bize yardımcı olabilir mi?"

Bence cevabım bazen "evet". Örneğin, Alt-Toplam problemini düşünün: pozitif gerçek sayılar dizisi verildiğinde , bunların alt kümelerinin kadar olup olmadığına karar verin . Bu, pozitif tamsayılarla sınırlı olsa bile NP-zorlu bir sorundur (Sırt çantası). Ancak Heide (1984) der Friedhelm Meyer auf herhangi için göstermiştir , sorun daha küçük derinlik doğrusal karar ağacı çözülebilir . Böyle bir ağaçta testler şu şekildedir: giriş değişkenlerinin bir miktar eşikten daha büyük olan lineer bir kombinasyonudur. Buradaki düzensizlik önemlidir: her için tamamen farklı bir algoritmaya sahip olabiliriz (karar ağacı). $n$ $1$ $n$ $n^5$ $n$

Referanslar:

Friedhelm Meyer auf der Heide, " n-Boyutlu Sırt Çantası Problemi İçin Polinomlu Bir Lineer Arama Algoritması ", 1984

— Stasys
kaynak

Teşekkür ederim. İlginç bir sonuç, ancak n-Boyutlu Sırt Çantası Problemi için Polinom Doğrusal Bir Arama Algoritmasına bakarken , bu bana biraz hile gibi geliyor. Düzgün olmayan programın boyutu üsteldir, sadece derinlik polinomdur,

boyutundaki girdilerde bir NP algoritmasının tüm hesaplama ağacının göz önüne alınması gibidir (polinom derinlikli üstel büyüklük devreleri gibidir).

n

$n$

— Kaveh

Benzer bir argümanla,

nolu sabit zamanda herhangi bir sorunun çözülebilir olduğunu söyleyebiliriz , çünkü cevap tablosu bir CNF tarafından ifade edilebilir. Ben Ryan ve Yuval'ın yapısını daha çok seviyorum, çünkü her ne kadar tek tip bir ortamda sorun karmaşık olsa da, her giriş boyutu için çözülmesi çok kolay.

2

$2$

— Kaveh

Kaveh, haklısın: burada zamanla ilgileniyoruz (= derinlik), uzayda değil (= ağ büyüklüğü günlüğü). Ancak, Alt küme toplamı için önemsiz bir algoritmanın, belirli bir giriş dizesinin tüm alt kümelerini test etmek için zaman (derinlik)

gerektireceğini unutmayın . Ayrıca, doğal adaylar hakkında sormak , sadece ayrılmak için değil düşündüm :-)

2^{n}

$2^n$

— Stasys

Tabii ki, Alt-Toplam probleminin belirleyici olmayan belirleyici bir algoritması vardır:

kadar bir alt kümeyi tahmin edin . Ancak deterministik algoritmalar hakkında konuşuyoruz . Ve Mayer auf der Heide’in belirleyici olanı. BTW onun sonucu hakkında da çok heyecanlı değilim. Bunu boyut için göstermiş olsaydı (sadece derinlik = zaman için değil), biz zaten

olurdu . Yine de, bu sonuçlardan biri.

1

$1$

N P \subseteq P / p o l y

$NP\subseteq P/poly$

— Stasys

@Kaveh: Fakat NP'nin kendisi P'nin büyük bir OR'sidir. P'nin NP'nin "zaman versiyonu": Bu büyük VEYA'nın yerini polinom derinliğinde deterministik bir cebirsel karar ağacı ile değiştirebilir miyiz ? Toplam Küme için önemsiz derinliğin 2 ^ n (n değil) olduğunu hatırlayın. Dopkin ve Lipton (1978), derinliğin n ^ 2/2 olması gerektiğini gösterdi ve bunun, herhangi bir k için n ^ k'ye geliştirilebileceğine inanılıyordu. Mayer auf der Heide bu inancı reddetti: k = 5 yeterli. Bu nedenle, tekdüzelik derinlik (zaman) ile ilgileniyorsak, CAN'a yardım edebilir.

— Stasys