“İsteğe bağlı Borel kararlılığı” yaklaşımını güçlendirir

Gowers kısa süre önce , çözümü devre alt sınırlarını kanıtlamakla ilgili olan "ayrık Borel belirliliği" adını verdiği bir sorunu özetledi .

Karmaşıklık teorisyenlerinin bir kitlesine uyarlanmış yaklaşımın bir özetini verebilir misiniz?
Bu yaklaşım kanıtlamak için daha ne alacağını şey yeniden ispatı bilinen alt sınır dahil?

cc.complexity-theory p-vs-np

— Manu
kaynak

Blogunda Gowers'a sordun mu?

— Mohammad Al-Turkistany

@vzn: Kesinlikle bir uzman değilim, ama Borel belirleme alanının çeşitli mantık alt alanları ile çok güçlü bağları var, bu yüzden CS'de uygulamaları olabileceği bir streç gibi görünmüyor. Aslında, karmaşıklık teorisindeki zaman hiyerarşisi teoreminin analogları olan borel hiyerarşisi ile analitik kümeler arasında doğrudan bir yazışma vardır.

— cody

@cody: Analitik kümelerin Polinom Hiyerarşisinin (zaman hiyerarşi teoreminden ziyade) analogu olduğunu düşündüm.

— Joshua Grochow

Lanetli aramadan sonra TCS içindeki fikirlerin çok fazla bağlantısını bulamadık ama belki de GCT bu noktanın bir parçası gibi. ayrıca oyun teorisine ve setlere / devrelere eşlenmiş oyun seçim kalıplarına benzer bir şeyden bahsedmelidir. deneysel "tiddlyspace" nde, bir taslak ve "analiz ağacı" da dahil olmak üzere geniş bir tamamlayıcı malzeme var .

— Kasım'da vzn

Bilgisayar bilimi ve

— Borel'in

Yaklaşım için motivasyon anlayışımın bir özetini vereyim. Set teorisinde hiç uzman değil, Borel determinitesi kavramında oldukça yeni olduğum konusunda uyarıda bulunun. Bütün hatalar benimdir. Ayrıca bu okumak Gowers'ın mesajlarını okumaktan çok daha iyi olduğundan emin değilim.

Gowers'ın aklında olan şey, Borel belirleme teoreminin finitary bir analogu değil, aşağıdakilerin finitary bir analogudur: Borel kararlılığı ZFC'den gelirken, analitik oyunların kararlılığı (esasen) ölçülebilir kardinallerin varlığını gerektirir. Hangi oyunlardan bahsettiğimizi ve Borel kararlılığının ne olduğunu kısaca anlatacağım ve sonra bunu daha düşük sınırları kanıtlama yaklaşımıyla bağlayacağım. En üst düzey fikir, mülkiyeti "Borel kararlılığının bir kanıtının ince bir analoğunun çalışmasına izin verir" özelliğini P \ poli'yi NP'den ayırabilecek bir özellik olarak düşünmektir.

İki oyuncunun I ve II aldığı oyunları bir tamsayı "oynamak" olarak düşünüyoruz. Oyun sonsuza kadar devam eder, bu nedenle dizisi üretir . Oyun kazanan bir (yani bir dizi dizi) ile tanımlanır. Eğer varsa o zaman ben kazandım, aksi takdirde II. Oyuncu kazanır. $x= x_1, x_2, \ldots$ $A \subseteq \mathbb{N}^\mathbb{N}$ $x \in A$

Bir oyuncu, I veya II. Tüm oyunların belirlenip belirlenmediği, set teorisinin temellerine yakın bağlantılara sahip olduğu ortaya çıkıyor (eğer seçim aksiyomuna inanıyorsanız, değiller). Her durumda, oyunlar aslında olduğunda belirlenen basit bir örnektir üzerindeki ürün topoloji açıktır üyeliğin söylemenin süslü bir yolu olan, olabilir yalnızca sınırlı sayıda öğesine dayanarak karar verdi . Örneğin, eğer çift sayı oynayan ilk kişi ise kazanacağım oyun açıktır. Kararlı oyunların bir başka basit örneği kapalı oyunlar, yani $A$ $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ $x \in A$ $x$ $x \not \in A$ , sonlu bir alt sırasına göre kararlaştırılabilir . Kapalı oyunlar, oyuncuların rolleri ters çevrilmiş açık oyunlardır. $x$

Şimdi Borel kararlılığına gelebiliriz ve hemen sonra bunu devreler ve karmaşıklıkla birleştirmeye çalışacağım. Borel seti, sayılabilir sayıda sendika ve kavşak tekrar tekrar uygulanarak açık ve kapalı setlerden türetilebilen bir settir. Açık ve kapalı kümeleri temel kümeleriniz olarak düşünmelisiniz ve Borel kümelerini, her düzeydeki birkaç "küçük" (= sayılabilen) sayıda basit işlem düzeyi kullanarak temel kümelerden türetilmiş olarak düşünmelisiniz. ZFC'de Borel setlerinin belirlendiğini kanıtlayabiliyorsunuz ve bunun yapabileceğiniz en iyi şey olduğu kesin bir duygusu var.

Bence Gowers'ın burada çizdiği benzetme, Borel setlerinin küçük devreler gibi olmasıdır. Sonlu dünyada, "evren" hiper küpü . Temel setlerimiz küpün fasetleri haline gelir: için ; bunlar ve değişmezlerine eşdeğerdir . Değişmez değerlerin AND ve OR harflerini bu tür kümelerin birlikleri ve kesişimleri olarak yazabilirsiniz. Yani, bir boolean fonksiyonları için , üretim edememek dışına sendikalar ve temel setleri kavşaklarda olduğu boyutuna eşdeğer $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ $\{0,1\}^n$ $\{x \in \{0,1\}^n: x_i = b\}$ $b \in \{0,1\}$ $x_i$ $\bar{x}_i$ $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ $f^{-1}(1)$ $s$ $s$ devre . $f$

Analitik setler hakkında bir şey söyleyeyim. Analitik küme bir Borel kümesinin bir projeksiyonudur: küme bir Borel kümesiyse, analitiktir. Borel kümeleri ve küçük devre karmaşıklığının fonksiyonları arasındaki yazışmalarımızla analitik kümeler NP / poli gibidir. $S \subseteq X \times Y$ $T = \{x: \exists y\ (x,y) \in S\}$

Şimdi küçük devre karmaşıklığının işlevlerini büyük devre karmaşıklığının işlevlerinden ayırt etmek için bir özellik (Razborov-Rudich anlamda) bulmak için Borel kararlılığının bir kanıtı ilham alıyor. Umut tabii ki mülkiyet doğal deliller bariyer kaçınmaktır.

Borel belirli olmasıyla Martin'in kanıtı bir kavramsal çok düzgün bir yaklaşım kullanır: Her Borel oyunu bir harita altında açık (aslında clopen cinsinden) oyunun bir görüntü olduğunu Martin gösterileri , böylece $\pi$ $\pi$ kazanan stratejileri korur - buna "asansör" diyelim. Martin'in gösterdiği şey, her Borel oyununun kazanan setin temel set olduğu bir oyunun görüntüsü olmasıdır. Açık oyunların kolaylıkla belirlendiği için Borel kararlılığını kanıtlar. Kanıt endüktiftir, temel durum kapalı oyunların kaldırılabileceğini gösterir. Önemli olan, tümevarım adımlarının evreni "havaya uçurması": Borel seti yapısının bir seviyesinden kurtulmak, bir oyunun, bir oyunun bir oyun üzerinde, aslında orijinal oyunun evreninin güç seti olan kaldırılmasını gerektirir. . İlginçtir, bu kaçınılmazdır: Tanımlamak için daha fazla seviye gerektiren Borel setleri sadece daha büyük evrenlerdeki oyunlara kaldırılabilir. Analitik kümeler çok büyük evrenleri gerektirir, varlıkları büyük kardinal aksiyomları gerektirir.

Bundan esinlenerek, Gowers, I ve II. Oyuncuların birlikte bazı belirtmeleri gereken bir oyun oluşturur ; ise I oyuncusu kazanır , aksi takdirde II. oyuncu kazanır. Oyuncu I koordinatların ilk yarısını, oyuncu II ikinci yarıyı belirtebilir. Sezgi şimdi basit tekabül oyunlar olmasıdır , yani küçük devre karmaşıklığı ile, Borel oyunlar yaptığımız gibi, nispeten küçük bir evrene Martin tarzı asansör izin vermelidir. Öte yandan rasgele , çift üstel büyüklükte evrenler gerektirmeli ve umarım NP-sert de analitik oyunlara karşılık gelecektir. $x$ $f(x) = 1$ $f$ $f$ $f$ $f$

Martin tarzı bir asansörün ne olduğu konusunda biraz daha somut olalım, ancak teknik tanımlar için Gowers'ın gönderilerini kontrol edin. Martin tarzı (Gowers'ın terminolojisinde "Ramsey") artışı, koordinatıyla koordinatında bazı belirtme oyununun bir kaldırmasıdır , burada evrendir ve potansiyel olarak daha büyüktür , ancak şimdi kazanan koşulu çok basittir: I veya II numaralı oyuncunun kazanıp kazanmadığı, tek bir koordinatının değerine göre belirlenir . Martin'in kanıtında olduğu gibi, bir asansör kazanan stratejileri korumalıdır. $y \in U$ $U$ $2^n$ $y$

Bunun doğal kanıt engelini önleyebileceği umudu, mülkün "Martin tarzı küçük bir evrene yükselmesi" sezgisinin hesaplanması kolay değildir. Ancak bu noktada parite işlevinin küçük bir evrene yükselip yükselmediği açık değildir. Ben Borel kümeleri uygun benzetme fonksiyonları olabileceğini endişe AC0 içinde: dinlenmek için en azından o endişe vereceğini parite için küçük bir asansör bulma. $f$

— Sasho Nikolov
kaynak

"Borel kümeleri ve devre karmaşıklığı" makalesinde dl.acm.org/citation.cfm?id=808733&dl=ACM&coll=DL , Sipser, Borel kümelerinin analoğunun olduğu fikrini iyi kullanmaktadır. .

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Joshua Grochow

Teşekkürler @Josh! Görünüşe göre bu benzetme, paritenin AC0'da olmadığının kanıtı arkasında bir sezgiydi.

— Sasho Nikolov