Hassasiyetin Blok Hassasiyetine Eşit Olduğu Boole İşlevleri

Duyarlılık vs blok duyarlılığı üzerindeki çalışmaların bazıları arasında mümkün olduğunca büyük bir boşluk olarak sahip fonksiyonlarını incelemeye yönelik olmuştur ve olduğu varsayımı çözmek için daha sadece polynomially büyüktür . Tam tersi ne olacak? bulunduğu fonksiyonlar hakkında bilinenler nelerdir ?$s(f)$$bs(f)$$bs(f)$$s(f)$$s(f) = bs(f)$

Önemsiz olarak, sabit fonksiyonlar . Ayrıca önemsiz olarak, olan herhangi bir fonksiyonun da . Önemsizdir, ancak herhangi bir monoton fonksiyonun da bu eşitliği sağladığını göstermek çok zor değildir. olan başka güzel sınıflar var mı? Tam bir karakterizasyon ideal olacaktır. Gereksinimleri ve daha da güçlendirirsek ?$0=s(f)=bs(f)$$s(f) = n$$s(f) = bs(f)$$s(f) = bs(f)$$s^0(f) = bs^0(f)$$s^1(f) = bs^1(f)$

Bu soru için motivasyon, duyarlılığın blok duyarlılığı ile nasıl ilişkili olduğuna dair sezgiler elde etmektir.

Tanımlar

Let olmak bir Boole fonksiyonu -bit deyişle. İçin ve , izin ifade elde edilen bitlik kelime ile belirtilen bit çevirerek . Durumda olduğunu ise , biz sadece bu ifade edecek .$f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}$$n$$x \in \{0,1\}^n$$A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$$x^A$$n$$x$$A$$A = \{i\}$$x^i$

Bu tanımlar duyarlılığını de$f$$x$ olarak . Başka bir deyişle, çıkışını çevirmek için çevirebileceğimiz cinsinden bit sayısıdır . Bu tanımlar duyarlılığı arasında olarak . $s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}$$x$$f$$f$$s(f) = \text{max}_x s(f,x)$

Bu tanımlar blok duyarlılığı de$f$$x$ (gösterilen en gibi) , ayrık alt küme vardır, öyle ki ait örneğin o . Bu tanımlar blok duyarlılığı arasında f olarak bs (f) = \ metni {maksimum} _x bs (f, x) .$bs(f,x)$$k$$B_1, B_2, \ldots, B_k$$\{1,2,\ldots, n\}$$f(x^{B_i}) \neq f(x)$$f$$bs(f) = \text{max}_x bs(f,x)$

Son olarak, tanımlar , 0 duyarlılığı arasında olarak . Benzer şekilde sırasıyla , ve gösterilen 1-duyarlılık , 0-blok duyarlılık ve 1-blok duyarlılık tanımlarız .$f$$s^0(f) = \text{max} \{ s(f,x) | f(x) = 0 \}$$s^1(f)$$bs^0(f)$$bs^1(f)$

Son zamanlarda, Boole operatörleri üzerinde AND, OR ve EXOR üzerindeki unate fonksiyonlar ve salt okunur fonksiyonlar için s (f) = bs (f) olduğunu ve sonuçları içeren makalemin TCS 2014'e kabul edildiğini kanıtladım. ( Http: // dx .doi.org / 10.1007 / 978-3-662-44602-7_9 )

Bu soruna saldırıyor olabilirsiniz. Eğer öyleyse, üzgün hissediyorum, ama soru gönderilmeden önce soruna bağımsız olarak saldırmaya başladım. Yazımın ön versiyonu Aralık / 2013'te bir Japon yerel toplantısında sunuldu ve son teslim tarihi Ekim / 2013'tür. ( http://www.ieice.org/ken/paper/20131220DBID/eng/ )