Grafik izomorfizm problemi için yarı-polinomlu bir zaman algoritmasının sonuçları

Grafik İzomorfizma sorunu (Gl) muhtemelen bir en iyi bilinen bir adaydır NP ara sorun. En iyi bilinen algoritma, çalışma zamanı olan üstel üstel algoritmadır.. O GI olmadığı bilinmektedirsürece -tamamlamakpolinom hiyerarşiçöker. $2^{O(\sqrt{n \log n})}$ $\mathsf{NP}$

Graph Isomorphism problemi için yarı-polinomlu bir zaman algoritmasının karmaşıklık teorik sonuçları ne olurdu?
GI için yarı-polinomlu bir zaman algoritması, karmaşıklık teorisindeki ünlü varsayımları çürütür mü?

Turnuvalarda Asgari Hakim Küme sorunu, Grup İzomorfizmi sorunu ve Turnuva İzomorfizmi sorunu gibi diğer benzer problemler de yarı-polinom süresi ( QP ) algoritmalarına sahiptir. Daha sonraki iki problem GI'ye indirgenebilen polinom-zamandır.

Turnuvalarda Asgari Hakim Seti problemini GI'ya verimli bir şekilde azaltabilir miyiz?
GI'nin QP için zor olduğunu öne süren herhangi bir varsayım var mı?

Güncelleme (2015-12-14) : Babai, GI için quasipolynomial time algoritması için arXiv hakkında ön taslak bir bildiri yayınladı.

Güncelleme (2017-01-04) : Babai , algoritmanın quasipolynomial zaman içinde olduğu iddiasını geri çekti , yeni analize göre algoritma subexponential time içinde olduğu . $\exp \exp(\tilde{O}(\sqrt{\lg n}))$ $2^{n^{o(1)}}$

Güncelleme (2017-01-09) : Babai , quasipolynomial zaman iddiasını eski durumuna getirdi ve rahatsız edici prosedürü daha verimli bir yöntemle değiştirdi.

— Muhammed El Türkistan
kaynak

Bence birçok insan polinom zaman algoritmasına sahip olduğunu düşünüyor ve AFAIK'in böyle bir algoritmanın karmaşıklık teorik sonuçları olmayacağını düşünüyorum.

— Huck Bennett

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

İki yıl sonra bir cevabımız olduğuna inanıyorum. Laszlo Babai, GI'nın yarı polinom zaman algoritmasına sahip olduğunu kanıtladı. Kaynak: lucatrevisan.wordpress.com/2015/11/03/…

— user3415207

@ user3415207 Babai, quasipolynomial çalışma zamanı iddiasını geri çekti . Görünüşe göre analizde bir hata vardı.

— Raphael

@Raphael ... ve Babai iddialarını geri aldı (sizinkiyle aynı bağlantı).

— Danny

Yanıtlar:

Söyleyebileceğim kadarıyla, GI’nın QP’de olduğu gerçeğinin (kara bir kutu gibi) sadece gerçek sonuçlarının sonuçlarını sorarsanız, cevabın çok az olduğunu düşünüyorum. Bir teorem değil, araştırma yönelimlerinin bir sonucu olan, düşünebildiğim tek şey Grup İzomorfizmi. GroupIso'nun GI'ye indirgenmesi ve GroupIso'nun P'de olup olmadığını bile bilmediğimiz için, GroupIso'yu P'ye koymak, GI'yi P'ye koymak için önemli bir engel olarak görülebilir (bunun ikincisi olabileceğini düşünüyorsanız).

$n^{\log n + O(1)}$ $2^{\tilde O(\sqrt{n})}$

— Joshua Grochow
kaynak

n^{O (\log \log n)}

$n^{O(\log \log n)}$

n^{O (\log \log n)^{c}}

$n^{O(\log \log n)^c}$

c

$c$

@JoshuaGrochow François Le Gall ve David J. Rosenbaum'un Grup On ve Renk İzomorfizmi Problemlerinde Aldığı Yaklaşımın Mantıklı Olduğunu Kabul Ediyor Musunuz ? Ya da en azından László Babai'nin sonucunun temel bir anlayışını kazandıktan sonra ortaya çıkabilecek bazı soruları ele aldıkları için?

— Thomas Klimpel

@ThomasKlimpel: Makalelerinin anlamlı olduğunu kabul ediyorum, ancak henüz içgörülerinden nasıl yararlanacaklarını görmedim (Baba'nın kanıtlarının çoğunu anlamalarına rağmen).

— Joshua Grochow

β_{k} P

$\beta_k P$

$\varnothing$ $\Sigma^*$

— Emil Jeřábek Monica'yı destekliyor
kaynak

Graph Isomorphism problemi için yarı-polinomlu bir zaman algoritmasının karmaşıklık teorik sonuçları ne olurdu?

Primallik testinde deterministik polinom zaman algoritmasının sonuçları, lineer programlama için deterministik polinom zaman algoritması ve pratik olarak verimli (randomize) algoritmaların (algoritmanın yetersiz kaldığı nadir patolojik örneklerle) bilinen durum) sonuçlarına az çok benzer. ve uzun süredir kullanılıyor. Nadir patolojik örneklerin sorunlarını aşan deterministik teorik algoritmaların varlığı için pratik verimliliğin iyi bir gösterge olduğu fikrini doğrulamaktadır.

GI için yarı-polinomlu bir zaman algoritması karmaşıklık teorisindeki ünlü varsayımları çürütür mü?

Hayır, varsayımlar zıt alana gider, yani GI P'dir. GI NP'de olduğu için, yakında bu tür bir çürütmeyi reddetmek mümkün olmayacaktır.

Turnuvalarda Asgari Hakim Seti problemini GI'ya verimli bir şekilde azaltabilir miyiz?

Asgari Hakim Set, bir izomorfizm problemi değildir, bu nedenle GI'ye indirgenmesi beklenen bir neden yoktur.

GI'nin QP için zor olduğunu öne süren herhangi bir varsayım var mı?

Dize izomorfizmi problemini GI'ye nasıl indireceğimizi bile bilmiyoruz ve bu en azından bir izomorfizma problemi. Babai'nin ispatı dize izomorfizminin QP'de olduğunu gösterdi, yani ... Ve QP için ne anlama gelmesi gerekiyor? Polinom altında zaman azaltma zor?

Tanıtımıyla itibaren On Grubu ve Renk İzomorfizma Sorunları François Le Gall ve David J. Rosenbaum tarafından

İzomorfizm test problemlerinin karmaşıklığı, hem temel hesaplama soruları olduğu hem de çoğunun P de olduğu bilinmediği için çalışmaya değer. Bunların en çok çalışılanı, grafik izomorfizm problemidir.

$\mathsf{GI}^*$ $\mathsf{GrI}^*$ tanımlanmıştır (yukarıdaki yazıda, ancak yazarlar haklı olarak neden daha önce hiç kimsenin bunu yapmadığını merak ediyorlardı). (Ve renk izomorfizmi sorunu, dize izomorfizmi sorunu için sadece farklı bir isimdir. Renk otomorfizm sorunu ismi Babai ve Luks'in ilk yazılarına geri döner, dize isomorfizmi ismi daha sonra kanonik etiketleme ile ilgili makalelerinde bulunur.)

$\mathsf{GI}^*$

Düzenleme: Bu cevap Baba'nın sonucunun geri çekilmesi bağlamında, bir düzeltme yapmadan önce verildi. Dize izomorfizm probleminin öne sürdüğü grafik izomorfizm probleminin hafif genellemesinin gerçekten önemli bir problem olduğunu göstermektedir. Buradaki örtük beklenti , grafik izomorfizmi problemi için herhangi bir makul algoritmanın, genelleştirilmiş grafik izomorfizmi problemi için benzer bir algoritmaya yol açmasıdır. Genelleştirilmiş sorun için polinom zamanlı eşdeğer set sabitleyici sorunu , grup kesişim sorun , eşküme kesişim problemi, set taşıyıcı sorun , ... Bu beklenti arkasındaki fikir genelleştirilmiş sorun meydana gelecek olmasıdır özyinelemeli parçasıHerhangi bir makul algoritma olduğundan, yine de ele alınması gerekir. (Ve genelleştirilmiş sorunun, grafik izomorfizmine eşdeğer polinom süresi olması oldukça muhtemeldir.)

Joshua Grochow'un yorumları, izomorfizm probleminden eksik parçaların kavramsal önemini açıklamakta başarılı olamadığımı gösteriyor. Sonsuz yapılar için geçerli bir izomorfizmin sadece verilen yapıyı korumasını değil, aynı zamanda uygun bir fonksiyon kategorisine (örneğin sürekli fonksiyonlar kategorisine) ait olması gerektiğini anlamak daha kolay olabilir. Sonlu yapılar için, benzer fenomen çoğunlukla uygun fonksiyon kategorisinin verilen bölümlerle uyumlu olması gereken bölüm yapıları için ortaya çıkar. Johnson olayı, bu tür bölümlere tipik bir örnektir, örneğin bölüm mantığı, bazı temel kümelerin iki eleman alt kümesi üzerinde çalışıyor. Ayrıca, izomorfizmler için izin verilen kategoriyi kısıtlamanın genellikle izomorfizm test problemini kolaylaştırdığını unutmayın.

Grafik izomorfizmi probleminin genelleşmesi ile ilgili problem nerede durmalı. Neden permütasyon grubu izomorfizm problemini kapsayacak kadar genelleştirmiyorsunuz? Bu soru gerçekten zor, çünkü grafik izomorfizmi için önemsiz birçok sonuç muhtemelen permütasyon grubundaki izomorfizme de yansıyacaktır. Fakat burada, bilgisayarlı permütasyon grubu teorisini, grafik izomorfizmi problemiyle gerçekten yakın bir bağlantısı olsa bile, kendi başına bir özne olarak ele almak daha mantıklı geliyor.

— Thomas Klimpel
kaynak

$S_n$

@JoshuaGrochow Renk iso için, renkler sadece rastgele sayılardır (wlog [n] ile sınırlı). Dize iso için, dizeler sabit bir sonlu alfabe üzerinde verilmiştir. İkili bir alfabe olduğunu düşünmüştüm, fakat bunu yanlış hatırladım. Renk iso'nun dize iso için farklı bir isim olup olmadığı konusunda kafamın karıştığını hatırladım. Laszlo iddiasını geri çektikten sonra o makaleyi okumaya karar verdiğimde, bu benim için bir fark gibi geldi. Belki de bu gerçekten bir farktır, çünkü “sonlu bir alfabe üzerinden” iletişim kurar ”favori sonlu bir alfabe düzeltir, herhangi bir fark yaratmaz”. Hangisi doğru.

— Thomas Klimpel

\log n

$\log n$

[n]

$[n]$

@JoshuaGrochow Bu tam olarak ne demek istediğimi ifade etmiyor "dedi. Bu doğru. Şimdi" Dize izomorfizmi / renk izomorfizmi bu sınıfa girmiyor "yorumunu ele almaya çalıştım. Andreas Blass ve Yuri Gurevich yolda, kavramsal noktalara da odaklanmaya çalışıyorlar, Babai'nin algoritmasını şimdi sabitlediğine sevindim, böylece grafik izomorfizmi ve tel izomorfizmi polinom zaman eşdeğer olup olmadığını araştırmak için hiçbir zorunluluk (veya baskı) hissetmiyorum. (Bu cevabı neden yazdığımın bağlamıydı.)

— Thomas Klimpel

Neden GI'daki ilerlemeyi derandomlaştırma sonuçlarıyla karşılaştırdığınızı karıştırıyorum.

— Sasho Nikolov