Neredeyse-2-SAT NP zor mu?

10

3 veya daha fazla terim yan tümceleri toplam sayısı (genişlik değil) bir CNF SAT sorunu NP yukarıda sabit ile sınırlanmış mı? Özellikle böyle bir madde olduğunda ne olur?

np-hardness sat upper-bounds

— dspyz
kaynak

8

2'den fazla terime sahip böyle bir maddesi varsa , bu formülleri çözmek önemsiz bir şekilde

. Eğer

sahiptir

terimleri, her deneyin

tatmin kısmi atamaları

, daha sonra bilinen doğrusal zamanlı yöntemi kullanılarak, kalan 2-SAT formül çözer. Sonunda tüm formül için bir çözüm bulacaksınız ya da

zamanında tatmin edici olmadığını kanıtlayın , burada

formülün tamamındaki değişken sayısını aşamaz.

c

$c$

P

$P$

c

$c$

n

$n$

n

$n$

c

$c$

O (n^{2})

$O(n^2)$

n

$n$

— Kyle Jones

@KyleJones Ancak

k

$k$ değişmezine sahip tek bir cümle sadece

değil

2^{k} - 1

$2^k-1$ tatmin edici ödeve sahiptir . Soruda

sınırlı olmadığından, bu yaklaşım üstel zaman algoritması verir.

k

$k$

k

$k$

— David Richerby

2

@DavidRicherby Maddeyi yerine getirmek için, yalnızca değişmez değerlerden birini doğru değerlendirmeniz gerekir. Bundan sonra madde yok sayılabilir ve yalnızca 2-SAT formülünüz kalır.

k

$k$ değişmez değerleri yalnızca

k

$k$ atamalarını denemeniz gerektiği anlamına gelir .

— Kyle Jones

14

Kısıtlama hafifçe gevşetildiğinde sorunun NP zorlaştığına dikkat etmek önemlidir.

Sınırlı boyuttaki sabit sayıda cümle ile, bir cümledeki ortalama değişmez sayısı, yeterli değişkenli bir örnek göz önüne alındığında, istendiği kadar 2'ye yakındır. Belirttiğiniz gibi, yan tümce boyutu sınırlıysa, polinom olan basit bir üst sınır vardır.

Buna karşılık, cümle başına ortalama değişmez sayı sayısı sabit (ancak keyfi olarak küçük) için en az ise, sorun NP-zordur. $2 + \epsilon$ $\epsilon > 0$

Bu, 3SAT'ı bu soruna indirgeyerek, önemsiz derecede tatmin edici olan 2 değişmezli yeni hükümler getirerek gösterilebilir. 3SAT örneğinde cümleleri olduğunu varsayalım ; ortalama yan tümce boyutunu olarak azaltmak için , iki değişmezli yeni yan tümceleri eklemek yeterlidir . Yana sabit ve pozitif olan, yeni bir örneğini polinom büyüklükte olacaktır. $m$ $(2+\epsilon)$ $m(1 - \epsilon)/\epsilon$ $\epsilon$

Bu azalma aynı zamanda "büyük" yan tümcelerin 3 değişmezle sınırlı olduğu sürümün bile NP-zor olduğunu göstermektedir.

Geriye kalan durum, birkaç büyük cümle sınırlı boyutta olmadığındadır; her büyük fıkra sorunu daha da zorlaştırıyor gibi görünüyor. İki fıkra için Pǎtraşcu ve Williams'ın SODA 2010 belgesine bakınız: eğer bu ikinci dereceden bir zamanda yapılabilirse SAT için daha iyi algoritmalara sahip olacağımızı iddia ediyorlar. Argümanlarının üst sınırınızın geliştirilemeyeceğine dair kanıt sağlayacak daha fazla cümleye bir uzantısı olabilir (üstel zaman hipotezinin bir biçimini modulo).

— András Salamon
kaynak

sadece teğetsel olarak ilişkilidir, ancak "neredeyse 2-SAT" ı farklı bir şekilde formüle eden ve güçlü bir sertlik sağlayan yeni bir ECCC makalesi vardır

— Sasho Nikolov

8

Tamam anladım. Cevap hayır. Bu poli-zamanda çözülebilir. Her 3 veya daha fazla terim yan tümcesi için bir değişmez değer seçin ve true olarak ayarlayın. Sonra kalan 2-sat problemini çözün. Herhangi biri bir çözüm sağlarsa, bu genel soruna bir çözümdür. 3 veya daha fazla terim cümlesinin sayısı sabit olduğundan (c diyelim), bu tür tüm cümle büyüklükleri <= m ise, bu O (m ^ (c) * n) cinsinden çalışır. Her olası seçimden geçmek için O (m ^ c), kalan 2-sat problemini çözmek için O (n) çarpı.

— dspyz
kaynak

m

$m$

Çünkü, m dolaylı olarak atom sayısıyla sınırlıdır. Açıkçası, bir cümlenin problemdeki atomlardan daha fazla değişmez değeri olamaz. Belki de m <= n

— dspyz