Verimli bir şekilde en üst düzeye çıkarılabilen grafikler üzerindeki ilginç işlevler.

Bir ağırlıklı grafik olduğu ki $G = (V,E,w)$ , öyle ki $w:E\rightarrow [-1,1]$ negatif ağırlıkları kabul edilmektedir - ağırlık fonksiyonudur.

Diyelim ki $f:2^V\rightarrow \mathbb{R}$ , köşelerinin herhangi bir alt kümesinin bir özelliğini tanımlar $S \subset V$.

$f$$\arg\max_{S \subseteq V}f(S)$

Örneğin, grafik kesme işlevi alt kümelerin ilginç bir özelliğidir ancak verimli bir şekilde maksimize edilemez. Kenar yoğunluğu işlevi, ne yazık ki verimli bir şekilde en üst düzeye çıkarılamayan ilginç bir özelliğin başka bir örneğidir. Ben eşit ilginç işlevler için arıyorum ama olabilir verimli maksimize edilmesi.

"İlginç" tanımının biraz belirsiz olmasına izin vereceğim, ama maksimizasyon probleminin önemsiz olmasını istiyorum. Örneğin, cevabı grafiğin kenarlarını incelemeden belirleyebilmeniz gerekir (bu nedenle sabit fonksiyonlar ve kardinalite fonksiyonu ilginç değildir). Ayrıca $f$ gerçekten sadece 2 ^ V etki alanına padding polinom boyutlu boyutlu bir etki alanı ile başka bir işlevi kodlama $2^V$(örneğin bazı küçük etki alanı $X$ ve bazı işlev m olmasını istemiyorum) olmamalıdır : 2 ^ S \ rightarrow X$m:2^S\rightarrow X$ , grafiğe bakmadan önce bilinir, böylece ilgilenilen işlev gerçekten $g:X\rightarrow \mathbb{R}$ ve $f(S) = g(m(S))$ Bu durumda, "maksimizasyon" problemi gerçekten sadece tüm girdilerdeki işlevi değerlendirmektir.)

Düzenleme: Kenar ağırlıklarını yoksayarsanız bazen küçültme sorunlarının kolay olduğu doğrudur (negatif kenar ağırlıklarına izin verdiğim için kesme işlevini en aza indirmemesine rağmen). Ama açıkça maksimizasyon problemleriyle ilgileniyorum. Yine de bu ortamda doğal ağırlıklı problemlerde bir sorun haline gelmez.

Her ne zaman kenarları sayar cinsinden tanımlanan bazı Boole yüklemi tatmin ve Eğer sadece bir Boole 2-CSP olduğunu yazdı sonra ne. Amaç işlevi, değişkenlere yapılan tüm atamalardaki memnun cümlelerin sayısını en üst düzeye çıkarmayı ister. Bunun NP-sert olduğu bilinmektedir ve kesin sertlik eşiği UGC varsayıldığında da bilinmektedir (bakınız Raghavendra'08).( u , v ) u ∈ S v ∈ $f(S)$$(u,v)$$u\in S$$v\in S$

Kenar alt kümeleri üzerinde en üst düzeye çıkarmak istediğinizde birçok doğal pozitif örnek vardır, örneğin, Maksimum eşleme bu durumda polinom zaman problemine bir örnektir.

Domatic partition / zayıf 2 renklendirme.

(Bu durumda her ise a komşu olan tersi ve yardımcısı Aksi takdirde. . A çözeltisi zaman varsa var izole düğümler yok ve polinom zamanında kolayca bulunabilir.)v ∈ S V ∖ S f ( S ) = 0 f ( S ) = $f(S) = 1$$v \in S$$V \setminus S$$f(S) = 0$$f(S) = 1$

Minimum kesim (özellikle tepe kesim).

(Bu durumda böyle bir şey olurdu: 0 eğer sette düğümleri kaldırarak bölme gelmez en az iki bileşen de, ve aksi Sonra maksimize. minimum kesim bulma eşdeğerdir Bu, polinom zamanında yapılabilir.)S G | V | - | S | $f$$S$$G$$|V| - |S|$$f$

Minimum kenar kesimlerine karşılık gelen benzer bir işlev de tanımlayabilirsiniz.

(Örneğin, veya ise ; aksi takdirde ; burada , bir uç noktası ve V'de diğer uç noktası olan kenar kümesidir. ∖ S. )S = ∅ S = V | E | - | X | X $f(S)$$S = \emptyset$$S = V$$|E| - |X|$$X$$S$$V \setminus S$

Maksimum bağımsız küme.

(Burada = düğüm sayısı S başka düğüme bitişik değildir S düğüm sayısı + V ∖ S bir düğüme bitişik olan S . Iff S Elimizdeki bir maksimal bağımsız dizi f ( S ) = | V | .)$f(S)$$S$$S$$V \setminus S$$S$$S$$f(S) = |V|$