Lambda Calculus'u bir tür sistemi olmadan güçlü bir normalleştirme nasıl yapılır?

Üstüne bir tip sistemi eklemeye gerek kalmadan, güçlü normalleşen lambda hesabına benzer bir sistem var mı?

Doğrusal mantıktan gelen birkaç olası cevabı düşünebilirim.

En basit olanı afin lambda hesabıdır: sadece her değişkenin en fazla bir kez göründüğü lambda terimlerini düşünün. Bu durum indirgeme ile korunur ve her bir indirgeme aşamasıyla afinite terimlerinin büyüklüğünün kesinlikle azaldığını hemen görür. Bu nedenle, tiplenmemiş afin lambda-hesabı güçlü bir şekilde normalleşmektedir.

Girard tarafından "Hafif Doğrusal Mantık" (Bilgi ve Hesaplama 143, 1998) 'de getirilen doğrusal mantığın alt sistemlerinden kaynaklanan "açıklık" açısından daha ilginç örnekler verilmiştir. Lafont'un "Yumuşak Doğrusal Mantık" (Teorik Bilgisayar Bilimi 318, 2004). Literatürde bu tür hesaplar vardır, belki de iyi bir referans Terui'nin "Hafif afin lambda hesabı ve polinom zamanının güçlü normalleşmesidir" (Arşiv Matematiksel Mantık 46, 2007). Bu makalede Terui, hafif afin mantığından türetilen bir lambda-hesabı tanımlamaktadır ve bunun için güçlü bir normalleşme sonucu ortaya koymaktadır. Makalede tiplerden bahsedilse de, normalizasyon kanıtında kullanılmazlar. Işık afin lambda kalkülüsünün ana özelliğinin düzgün bir formülasyonu için faydalıdırlar, yani belirli bir türün terimlerinin tam olarak Polytime işlevlerini temsil ettiği. Diğer "hafif" lambda-calculi (Terui'nin makalesi başka referanslar içerir) kullanılarak temel hesaplama için benzer sonuçlar bilinmektedir.

Bir yan not olarak, kanıt teorik olarak afin lambda kalkülüsünün kasılma kuralı olmadan sezgisel mantığa karşılık geldiğini gözlemlemek ilginçtir. Grishin, (doğrusal mantık getirilmeden önce), kasılma olmadan, saf küme teorisinin (yani, sınırsız anlama ile) tutarlı olduğunu (yani Russel'in paradoksunun bir çelişki vermediğini) gözlemledi. Nedeni, kasılma olmadan saf set teorisi için kesilmesinin ortadan kaldırılmasının, formüllerin karmaşıklığına dayanmayan basit bir boyut küçültme argümanı (yukarıda verdiğim gibi) ile kanıtlanabilmesidir. Curry-Howard yazışmaları ile bu tam olarak türlenmemiş afin lambda-hesabının normalleşmesidir. Russel'in paradoksunu doğrusal mantıkla çevirerek ve "ince ayar" yaparak üstel yöntemler, böylece Girard'ın hafif doğrusal mantık ortaya koyduğu hiçbir çelişki ortaya çıkmadı. Yukarıda bahsettiğim gibi, hesaplama açısından hafif doğrusal mantık, polinom-zaman hesaplanabilir fonksiyonların bir karakterizasyonunu verir. Kanıt teorik terimlerle, ışık doğrusal mantıkta tutarlı bir saf küme teorisi tanımlanabilir, böylece kanıtlanabilir toplam fonksiyonlar tam olarak polinom zamanı hesaplanabilir fonksiyonlardır (Terui tarafından bu konuda bir başka makale daha vardır, "Işık afin küme teorisi: Saf "polinom zamanı kuramı belirledi", Studia Logica 77, 2004).

Church ve Rosser'in "Bazı Dönüşüm Özellikleri" adlı orijinal makalesi, aradığınız şeyin bir örneği olabilecek bir şeyi açıklıyor.

Sıkı lambda hesabını kullanırsanız,$\lambda x.M$ sende var $x$ içinde ücretsiz görünüyor $M$, bir tür sistemi olmadan aşağıdaki özellik geçerlidir (Church ve Rosser'in makalesinde Teorem 2):

Eğer $B$ normal bir formudur $A$, sonra bir sayı var $m$ öyle ki herhangi bir azaltma dizisi $A$ yol açacak $B$ [modulo alfa denkliği] en fazla $m$ azalmalar.

Bu nedenle, (türlenmemiş) katı lambda hesabına sonlandırıcı olmayan terimler yazabilseniz bile, normal formdaki her terim güçlü bir şekilde normalleşir; yani, her azaltma dizisi bu benzersiz normal forma ulaşacaktır.

İşte eğlenceli bir tane, Neil Jones ve Nina Bohr:

Şifrelenmemiş Değerli Çağrı Sonlandırma $\lambda$-calculus

Boyut değiştirme analizinin (sonsuz döngüleri tespit eden bir tür kontrol akış analizi) tipsiz olarak nasıl uygulanacağını gösterir.$\lambda$-terms. Bu pratikte oldukça güzel, ama elbette$\lambda$- tanımlı sabitleri olmayan terimler (yöntem daha genel kullanıma kadar genişletilebilir).

Yazmanın avantajı elbette hem düşük karmaşıklık maliyeti hem de yaklaşımın modülerliğidir: genel olarak sonlandırma analizleri çok modüler değildir, ancak yazım "parça parça" yapılabilir.