Minimum TSP turunun ortak NP eksiksizliği?

Bu sorun son blog yayınımdan çıktı, size bir TSP turu verildiğini varsayalım, minimal bir olup olmadığını belirlemek için birlikte NP-tam mı?

Daha kesin olarak şu problem NP-complete'tur:

Eşgörünüm: Pozitif tamsayılarla tartılmış kenarlar ve G'nin tüm düğümlerini ziyaret eden basit bir C döngüsü ile eksiksiz bir G grafiği verilir.

Soru: G'deki tüm D kenarlarının toplam ağırlığının G cinsinden tüm kenarlarının toplam ağırlığından kesinlikle daha az olacak şekilde G'nin tüm düğümlerini ziyaret eden basit bir D döngüsü var mı?

NP-tam olduğunu kanıtlamak için olası bir azalmanın taslağı.

Gayri resmi olarak, 3SAT'in ASP-complete olduğunu göstermek için kullanılan değiştirilmiş bir 3SAT formülünden başlar (Başka Bir Çözüm Sorunu) ve standart azaltma zincirini 3SAT => DIRECTED HAMCYCLE => UNDIRECTED HAMCYCLE => TSP

• N değişkenleri x 1 , olan bir 3SAT formülü ile başlayın . . . X , n ve m, caluses Cı 1 , . . . , Cı- m ;$\varphi$$n$$x_1,...x_n$$m$$C_1,...,C_m$
• Yeni bir formül onu trasform yeni değişken ekleyerek t ...;$\varphi'$$t$
• ... ve her bir madde genişleyen için ( x i 1 ∨ x i 2 ∨ x i 3 ∨ t ) ;$(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3})$$(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3} \lor t)$
• Kaynaktan oluşturmak elmas yapısı grafik G = { V , E } YÖNLENDİRİLMİŞ hamiltonian cycle NP-Tam olduğunu kanıtlamak için kullanılır; varsayalım ki, her maddesi Cı- j düğümü tekabül N j içinde G ;$\varphi'$$G = \{V,E\}$$C_j$$N_j$$G$
• Değiştirme grafik haline G ' = { V ' , E ' } her bir düğüm yerine U , birbirine bağlı üç düğümleri u 1 , u 2 , u 3 ve YÖNSÜZ hamiltonian cycle NP-eksiksiz kanıtlamak için kullanılan standart indirgeme göre kenarları değiştirmek YÖNLENDİRİLMİŞ hamiltonian döngüsünden yani u 1 , gelen kenarları için kullanılan düğümdür u 3 giden kenarları için kullanılan düğümdür;$G$$G' = \{V',E'\}$$u$$u_1, u_2, u_3$$u_1$$u_3$
• İlgili YÖNSÜZ hamiltonian cycle örneği dönüştürme TSP örneği için T tüm kenarları olan G ' ağırlığına sahip w = 1 "pozitif" atama olacak elmas (tek) kenar hariç, t ağırlığı ağırlık = 2 (aşağıdaki şekilde kırmızı kenar); son olarak G ′ ' yı tamamlamak için eklenen kenarların ağırlığı w = 3'tür .$G'$$T$$G'$$w = 1$$t$$w = 2$$G'$$w = 3$

Açıkça TSP örneği , basit bir döngü olduğunu ziyaret tüm düğümler arasında tatmin edici atamaya olan tekabül cp ' ki burada t = t r u e (ve bu tur kolay polinom zamanda yapılabilir), ancak, toplam ağırlığa sahiptir | V ′ | + 1 (çünkü ağırlığı 2 olan t = t r u e atamasına karşılık gelen kenarı kullanır ). T , daha düşük toplam ağırlığa sahip tüm düğümleri ziyaret eden başka bir basit döngüye sahiptir | V ′ $T$$\varphi'$$t = true$$|V'|+1$$t = true$$T$$|V'|$yalnızca ve t = t r u e atamasına karşılık gelen ağırlık kenarı kullanılmazsa; veya eşdeğer ve eğer başka bir tatmin edici atama yoktur, sadece cp ' ki burada t = f bir L s e ; ancak bu ancak orijinal formül φ tatmin edilebilirse doğru olabilir.$2$$t = true$$\varphi'$$t = false$$\varphi$

Bunun hakkında daha fazla düşüneceğim ve resmi bir kanıt yazacağım (eğer yanlış olduğu ortaya çıkmazsa :-). Yukarıdaki pasajlardan biri veya daha fazlası hakkında daha fazla ayrıntıya ihtiyacınız varsa bana bildirin.

$G$$G$

Papadimitriou ve Steiglitz (1977) bu sorunun NP-tam olduğunu göstermiştir.