İlkel özyineleme işlevlerinin sınıfı, Fetus'un sona erdiğini kanıtladığı işlev sınıfına eşdeğer mi?

Bunu duymamış eğer Fötus, üzerinde okunabilir burada . Bir fonksiyondaki özyinelemeli çağrıların tüm 'özyineleme davranışlarını' bulmak için bir 'çağrı matrisleri' ve 'çağrı grafikleri' sistemi kullanır. Bir fonksiyonun sonlandığını göstermek için, bir fonksiyona yapılan özyinelemeli çağrıların tüm özyineleme davranışlarının belirli bir 'sözlükbilimsel sıralamaya' uyduğunu gösterir. Sonlandırma denetleyicisi tüm ilkel özyinelemeli işlevlere ve Ackermann işlevi gibi işlevlere izin verir. Temelde çoklu argüman ilkel özyinelemeye izin verir. Bu aynı zamanda Agda'nın sonlandırma denetleyicisidir; Coq'un belki de daha genel olsa da bazı benzer tesislere sahip olduğuna inanıyorum.

DA Turner'ın "Toplam Fonksiyonel Programlama" makalesini okurken . Önerilen dilinin Godel tarafından incelenen Sistem T'de görüldüğü gibi tüm "ilkel özyinelemeli işlevleri" ifade edebileceğini açıklar. Bu sistemin "bütünlüğü birinci dereceden mantıkta kanıtlanabilen her özyinelemeli işlevi içerdiği biliniyor" diye devam ediyor.

Doz Fetüsü tüm ilkel özyinelemeli fonksiyonellere izin verir mi? Eğer öyleyse, ilkel özyinelemeli fonksiyonel olmayan fonksiyonlara izin verir mi? Bunun cevabı için bir atıf yapılabilir mi? (bu sadece ilgi duyduğum için gerekli değil; sadece bu konuda evlilik okumanın iyi olması)

Bonus soru: İlkel özyinelemeli işlevler, birleştiriciler açısından çok özlü bir tanıma sahiptir: S ve K (sabit nokta birleştiricileri ifade edemeyen), sıfır, ardıl işlev ve yineleme işlevi; bu kadar. Böyle özlü bir tanımı olan ve tüm ifadelerin sona erdiği daha genel bu tür diller var mı?

Evet, Fetus denetleyicisi Goedel'in T'sindeki her şeyi kontrol edebilir. Bunu, T'deki yineleme operatörünün sonlandığını göstermek için denetleyiciyi kullanarak gösterebilirsiniz. Örneğin, aşağıdaki tanım işe yarar:

$$\begin{array}{lcl} \mathit{iter} & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \\ \mathit{iter} \;i \;f \;0 & = & i \\ \mathit{iter} \;i \;f \;(n+1) & = & f\;(\mathit{iter} \;i \;f \;n) \end{array}$$

Bu, Fetus denetleyicisinin (veya diğer herhangi bir sonlandırma denetleyicisinin) kontrol etmesi çok kolaydır, çünkü açıkça yapısal olarak özyinelemeli bir tanımdır.

Agda ve Coq, her ikisi de birinci dereceden aritmetik olarak kanıtlanabilir toplamın ötesine geçen işlevlerin sonlandırılmasına izin veriyor. Bunu mümkün kılan özellik, "büyük eliminasyon" adı verilen veriler üzerinde özyineleme yoluyla türlerin tanımlanmasına izin vermesidir. (ZF set teorisinde, değiştirme aksiyom şeması kabaca aynı amaca hizmet eder.)

T'nin ötesine geçen bir şeye kolay bir örnek, Goedel'in T'nin kendisinin tutarlılığıdır! Sözdizimini veri türü olarak verebiliriz:

data T : Set where 
   N : T 
   _⇒_ : T → T → T

data Term : T → Set where 
   zero : Term N
   succ : Term (N ⇒ N)
   k    : {A B : T} → Term (A ⇒ B ⇒ A)
   s    : {A B C : T} → Term ((A ⇒ B ⇒ C) ⇒ (A ⇒ B) ⇒ A ⇒ C)
   r    : {A : T} → Term (A ⇒ (A ⇒ A) ⇒ N ⇒ A)
   _·_  : {A B : T} → Term (A ⇒ B) → Term A → Term B

Tür bağımlılığının, yalnızca iyi türetilen T terimlerini içeren bir terim veri türü tanımlamamıza izin verdiğini unutmayın. Daha sonra türler için bir yorumlama işlevi verebiliriz:

interp-T : T → Set 
interp-T N       = Nat 
interp-T (A ⇒ B) = (interp-T A) → (interp-T B)

Bu, bunun NAgda doğal sayıları olması gerektiğini ve T'nin okunun Agda fonksiyon alanı olarak yorumlanması gerektiğini söylüyor. Bu "büyük" bir eliminasyondur, çünkü veri tipi T'nin yapısı üzerinde özyineleme yoluyla bir küme tanımlarız .

Daha sonra, Goedel'in T'nin her teriminin bir Agda terimi tarafından yorumlanabileceğini gösteren bir yorumlama fonksiyonu tanımlayabiliriz:

interp-term : {A : T} → Term A → interp-T A
interp-term zero    = 0 
interp-term succ    = \n → n + 1
interp-term k       = \x y → x
interp-term s       = \x y z → x z (y z)
interp-term r       = Data.Nat.fold 
interp-term (f · t) = (interp-term f) (interp-term t)

(Bu makinede Agda yok, bu yüzden şüphesiz bazı eksik ithalatlar, sabitlik bildirimleri ve yazım hataları var. Düzeltme, bu, isterse editör olabilecek okuyucu için bir alıştırmadır.)

Agda'nın tutarlılık gücünün ne olduğunu bilmiyorum, ama Benjamin Werner Endüktif Yapılar hesabının (Coq'un çekirdek hesabı) ZFC ile eşit olarak var olduğunu ve sayıca pek çok ulaşılmaz kardinal olduğunu gösterdi.

Açıklığa kavuşturmak gerekirse, Fetus'un Agda için orijinal sonlandırma denetleyicisini de geliştiren ve o zamandan beri daha gelişmiş sonlandırma teknikleri üzerinde çalışan Andreas Abel tarafından geliştirildiğini belirtmeliyim .

Sorunuzun cevabı biraz hayal kırıklığı yaratabilir: $\mathbb{N}$ için $\mathbb{N}$olduğu tam olarak sistemde tanımlanabilir fonksiyonlar$\mathrm{F}$. Bunun nedeni: yukarıda belirtilen sınıf, İkinci Mertebeden Aritmetik ($\mathrm{PA}^2$) bu da sistemde tanımlanabilir fonksiyonlara eşittir $\mathrm F$(bakınız Örnekler ve Tipler , bölüm 11). Ayrıca, polimorfizmi çıkarırsanız, tanımlanabilir fonksiyonlara düşersiniz.$\mathrm{PA}$, bu sistemde tanımlanabilenlerle çakışır $\mathrm{T}$.

Yine, bunun yankısı, "çağrı matrisleri" tarafından yakalanan azalmanın kanıtlanmış bir dayanak oluşturması ve bu kanıtın tamamen$\mathrm{PA}$.

Ancak bu, Fetus'un sistemden daha yararlı olmadığı anlamına gelmez$\mathrm{T}$! Uygulamada, hesaplanabilir fonksiyonların belirli sunumlarını kabul edebilmek için daha karmaşık sonlandırma analizleri gerekmektedir . Örneğin, bir birleştirme işlevi her yazışınızda Peano Aritmetiği'nde karmaşık bir kanıt yapmak istemezsiniz. Bu bakımdan, Fetus çok güçlüdür ve işlevleri Coq, Agda veya herhangi bir ortak kanıt sistemi tarafından kabul edilmeyecek şekilde tanımlamanıza izin verir.

İlkel özyinelemeli işlevler ile ilkel özyinelemeli işlevler kastediyorsanız ve Fetus'un Ackermann işlevini içerdiğini biliyorsanız, Acusmann işlevi ilkel özyinelemeli olmadığından Fetus pr işlevlerinin sınıfıyla çakışmaz. Bu Ackermann tarafından gösterildi ve daha sonra Rosza Peter tarafından " Konstruktion nichtrekursiver Funktionen " 1935'te (maalesef bildiğim kadarıyla sadece Almanca) basitleştirilmiş bir kanıt verildi .

Fetus tarafından yakalanan işlevler sınıfına denk gelebilecek, sonlandırılması garanti edilen daha büyük özyinelemeli işlev sınıfları arıyorsanız, Rosza Peter'ın diğer bazı çalışmaları sizi ilgilendirebilir.

Ackermann işlevi, Rosza Peter tarafından " Uber die mehrfache Rekursion " 1937'de tanımlandığı gibi çoklu özyinelemeli işlevler sınıfında bulunur . Örneğin$f(a,b)$ arayabilir $f(a,b-1)$ veya $f(a-1,b)$.

Yine de, daha güçlü bir sınıf, Rosza Peter tarafından " Zusammenhang der mehrfachen und transfiniten Rekursion " da anlatılan sınırsız özyineleme kavramı tarafından verilmektedir. Sınırsız özyineleme için öncekileri özel bir siparişe göre çağırabilen bir özyinelemeli değişkeniniz var$<$

Örneğin, bir tamsayıyı bir tam sayı çifti olarak yorumlayabilir ve sıralamayı kullanabilirsiniz

$$(a,b) < (c,d) \iff ( a < c \wedge b \leq d ) \vee ( a \leq c \wedge b < d )$$ Bu, tamsayıların üçlüleri için genelleştirilebilir. Peter bu emirleri çağırır$\omega^2, \omega^3$ve bunun gibi. Bir adım daha ileri gidebilir ve bir tamsayıyı keyfi sayıda tamsayı olarak yorumlayabilirsiniz. İzin Vermek$p_i$ ol $i$- asal sayı. Sonra düşünebiliriz$z = p_1^{n} \cdot p_2^{x_1} \cdot p_3^{x_2} \cdot \dots$ nerede $n$ , kodlanan tam sayıların sayısını belirtir $z$ ve $x_i$resp içerir. değer. Bir tamsayı listesi için bir sıralamayı belirtir.$\omega^\omega$ve köşegenleştirme yoluyla, bu tür özyinelemenin çoklu özyinelemeden daha güçlü olduğunu gösterir. Ancak, bu sınıfın sözdizimsel karakterizasyonu olup olmadığından emin değilim.

İlkel özyinelemeli işlevler, aşağıdaki yorumda belirtildiği gibi ilkel özyinelemeli işlevlerle aynı değildir. Ancak bence sonsuz özyineleme kavramını işlevsellere aktarabiliriz. Bununla birlikte, fonksiyonel bir ayar ile hala daha güçlü olup olmadığı açık değildir.