Hesaplamada gerçek sayılar nasıl belirtilir?

Bu temel bir soru olabilir, ancak Nash dengesi hesaplama ve doğrusal yozlaşma testi gibi konularda yazılar okuyup anlamaya çalışıyorum ve gerçek sayıların girdi olarak nasıl belirtildiğinden emin değildim. Örneğin, LDT'nin belirli polinom alt sınırlarının olduğu belirtildiğinde, girdi olarak değerlendirildiğinde gerçek sayılar nasıl belirlenir?

Kaveh tarafından kabul ettiğiniz cevabınıza katılmıyorum. Doğrusal programlama ve Nash dengesi için kayan nokta kabul edilebilir. Ancak kayan nokta sayıları ve hesaplama geometrisi çok kötü karışır: Yuvarlama hatası algoritmaların birleşik varsayımlarını geçersiz kılar, bu da sık sık çökmelerine neden olur. Daha spesifik olarak, birçok hesaplama geometrisi algoritması, verilen bir değerin pozitif, negatif veya sıfır olup olmadığını kontrol eden ilkel testlere dayanır. Bu değer sıfıra çok yakınsa ve kayan nokta toparlanması yanlış işarete neden olursa, kötü şeyler olabilir.

Bunun yerine, girdilerin genellikle tam sayı koordinatlarına sahip olduğu varsayılır ve orta sonuçlar genellikle taşma önlenecek kadar yüksek hassasiyetli rasyonel sayılar olarak veya cebirsel sayılar olarak tam olarak gösterilir. Bu sayılara kayan nokta yaklaşımları hesaplamaları hızlandırmak için kullanılabilir, ancak sadece sayıların sıfırdan uzakta olması ve işaret testlerinin doğru cevapları vermesi için yeterli olduğu garanti edilebilecek durumlarda.

Teorik algoritmaların çoğunda, hesaplama geometrisindeki bildiri belgelerinde, bu konu girdilerin kesin gerçek sayılar olduğu ve ilkellerin girdi değerlerinde düşük dereceli polinomların kök belirtilerinin kesin testleri olduğu varsayımıyla giderilir. Fakat eğer geometrik algoritmalar uyguluyorsanız, o zaman tüm bunlar çok önemlidir.

Andrej Bauer'ın Modern Gerçeklikte Gerçek Alan Aritmetiğindeki Aralıklı Alanın Rolü konulu konuşmasına da bakabilirsiniz ; bu, teorik ve pratikteki gerçek sayılar üzerinde hesaplamanın belirlenmesinde farklı yaklaşımlardan bazılarını inceler.

Bu, sorunuza doğrudan bir cevap değil, daha çok Raphael'e verilen bir cevaptır . Son zamanlarda coinduction kullanarak gerçek sayı hesaplamaları belirten bir takım çalışmalar da olmuştur. İşte konuyla ilgili bazı makaleler.

• Kesin Reel Sayı Hesaplama için Ortak Düzenleme , Ulrich Berger ve Tie Hou: BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ TEORİSİ Cilt 43, Sayı 3-4, 394-409, DOI: 10.1007 / s00224-007-9017-6

• Kesin Gerçek Aritmetikte Coinductive Formal Akıl , Milad Niqui, Bilgisayar Biliminde Mantıksal Yöntemler, 4 (3: 6): 1–40, 2008.

• Coinductive Formunda Matematik Dusko Pavloviç ve Martin Escardo, Lics 1998 tarafından.

Gerçek sayı hesaplamasının tüm spektrumunu pek kapsamazlar, ancak çeşitli problemlerde uzaklaşmak için ilerleme kaydedilmektedir.

Hesaplamaların gerçek sayılar üzerinden hesaplanan karmaşıklığı Blum, Cucker, Shub ve Smale tarafından değerlendirilir . İşte kitabın kısmi bir açıklaması:

Klasik hesaplama teorisi, Goedel, Turing, Church ve Kleene çalışmalarında kökeni var ve teorik bilgisayar bilimi için olağanüstü başarılı bir çerçeve olmuştur. Bununla birlikte, bu kitabın tezi, algoritmaların çoğunun gerçek sayı algoritması olduğu modern bilimsel hesaplama için yetersiz bir temel sağlamasıdır. Bu kitabın amacı, klasik teorinin ana temalarını birleştiren ve matematik, sayısal analiz ve bilimsel hesaplamadaki problemlere daha doğrudan uygulanabilen resmi bir hesaplama teorisi geliştirmektir. Yol boyunca, yazarlar aşağıdaki gibi temel sorunları göz önünde bulundurur: Mandelbrot seti belirlenebilir mi? Basit ikinci dereceli haritalar için, Julia durma seti mi? Newton'un asıl karmaşıklığı nedir? s yöntemi? Sırt çantası sorununa karar vermek için bir ploynomial adımda bir algoritma var mı? Hilbert Nullstellensatz zorlanabilir mi? Derecede dördüncü derece polinomun gerçek bir sıfırını bulma sorunu tespit edilemez mi? Doğrusal programlama gerçekler üzerinde izlenebilir mi?

Bu kitabın bir incelemesini ACM SİGACT Haber'de bulabilirsiniz .

Yorumlara göre düzenlendi / düzeltildi

Yazarlar doğrusal programlamadaki gerçek sayı girişleri hakkında konuştuğunda, Nash dengesi hesaplama, ... çoğu yazıda (gerçek sayılar üzerinden hesaplama / karmaşıklık konusu olmayan yazılar) gerçekten gerçek sayılar anlamına gelmez. Rasyonel sayılar ve manipülasyonlarından dolayı onlardan kaynaklanan sayılardır (cebirsel sayılar). Böylece onları sonlu dizgilerle temsil edildiği gibi düşünebilirsiniz.

Öte yandan, eğer kağıt analizde hesaplanabilirlik ve karmaşıklık üzerindeyse, normal hesaplama modelini kullanmıyorlar ve gerçek sayılar üzerinde çeşitli uyumsuz hesaplama / karmaşıklık modelleri var .

Kağıt, gerçek sayılar üzerinden bir hesaplama modeli belirtmiyorsa, bunun ilk durum olduğunu, yani sadece rasyonel sayılar olduklarını güvenle varsayabilirsiniz.

Hesaplamalı Geometri farklı. CG'deki çoğu makalede, eğer yazarlar bir algoritmanın doğruluğu ve karmaşıklığının tartışıldığı modelin ne olduğunu belirtmezse, BSS (aka gerçek RAM) modeli olduğu varsayılabilir.

Model gerçekçi değildir ve bu nedenle uygulama basit değildir. (Bu, CCA’daki bazı kişilerin Ko-Friedman / TTE / Domain teorik modellerini tercih etmelerinin nedenlerinden biridir , ancak bu modellerle ilgili problem pratikte kayan nokta hesaplamaları kadar hızlı olmamalarıdır.) BSS modelindeki algoritma mutlaka uygulanan algoritmanın doğruluğuna aktarılmaz.

Weihrauch'un kitabı , farklı modeller arasında bir karşılaştırma içeriyor (Bölüm 9.8). Sadece üç sayfa ve okumaya değer.

(CG için daha uygun olabilecek üçüncü bir yol daha vardır, bu makaleye bir göz atmak isteyebilirsiniz:

Chee Yap, " EGC'ye Göre Gerçek Hesaplama Teorisi "

EGC'nin Tam Geometrik Hesaplama olduğu yerler .)

Genelde değiller ve olamazlar. Sayılabilir sayıda girdiyi (ve çıktılar ve fonksiyonlar) hesaplama modellerimizle yalnızca tedavi edebiliriz. Özellikle, herhangi bir girişin sonlu olması gerekir, ancak tüm gerçek sayıların sonlu gösterimleri yoktur.

Sanırım, talep üzerine belirli bir gerçek sayının bir sonraki basamağını veren bir tür kehanet alabilirsin (bir akış gibi). Aksi halde (keyfi olarak kesin) yaklaşımlarla yaşamanız gerekecektir.