Yerel otomata durumlarının sayısı

Bir deterministik otomat olarak adlandırılır -local için k> 0 ise, her için X ^ k \ W grubu \ {\ delta (q, w): q \ in Q \} en fazla bir öğe içeriyor. Bir kelime varsa, sezgisel araçlarının ağırlık uzunluğu k bir duruma yol açar, bu durum benzersiz veya uzunluğunun bir rasgele kelime farklı bahsedilen olup > k son k sembolleri bu yol durumunu belirlemek.$\mathcal A = (X, Q, q_0, F, \delta)$$k$$k > 0$$w \in X^k$$\{ \delta(q,w) : q \in Q \}$$w$$k$$> k$$k$

Bir otomat Şimdi eğer $k$ -lokal, o zaman olması gerekmez $k'$ -local bazı $k' < k$ , ama olmak zorunda $k'$ -local için $k' > k$ bazı sözcüğün son sembolleri nedeni $|w| > k$ durumu (varsa) benzersiz olarak belirler.

Şimdi bir otomatonun durum sayısını ve $k$ yerelliğini bağlamaya çalışıyorum . Ben tahmin ediyorum:

Lemma: Let $\mathcal A = (X,Q,q_0,F,\delta)$ olmak $k$ -lokal, eğer $|Q| < k$ o zaman otomasyon da $|Q|$-yerel.

Ama herhangi bir öneri veya fikrinizi kanıtlayamadım?

Ben olmayan bir olarak durumların sayısı hakkında derived şeye bu Lemma tarafından umut $k$ -local herkes için $k \le N$ sabit verilen $N > 0$ , ancak $k$ bazıları için -local $k > N$ .

Demek yana bu olmalıdır en bir element, bir DFA sürümünü kullanan varsayacağız kısmi olabilir. O zaman bu bir karşı örnek: için ve . ve açıkçası bu soru için önemli değil.$T_w:=\{\delta(q,w):q\in Q\}$$\delta$$X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3,4\},\delta(q,a)=q+1$$q<4$$\delta(1,b)=2,\delta(2,b)=3,\delta(4,b)=0$$F$$q_0$

olduğundan , otomasyon yereldir, ancak yerel değildir .$6$$5$$T_{abaab} = \{0,3\}$

Düzenleme: Bu karşı örnek çalışmıyor, yorumların mantıklı olması için saklayacağım. Yine de aşağıdakiler yapar.

Al geçişler, . Bu otomasyon olan -lokal, ancak -local: için , bundan elde yolları ve , örneğin, .$X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3\}$$0\to 1(a),1\to 2(a), 2\to 3(a), 2\to 0(b), 3\to 2(b)$$5$$4$$aaba$$0\to 1\to 2\to 0\to 1$$1\to 2\to 3\to 2\to 3$$T_{aaba}=\{1,3\}$

Geç bir cevap, ancak senkronizasyon gecikmesi üzerindeki sınır birkaç otomata sınıfı için incelenmiştir: bakınız örneğin Belirsiz Otomata; Béal ve ark. MCS'08 .

Özellikle; Yerel Otomasyonun Senkronizasyon Gecikmesinin Sınırında gösterildiği gibi , geciktirme olan bir deterministik otomata ailesi vardır ; Béal ve ark. TCS'98 , karşılık gelen üst sınırıyla eşleşir .$\Omega(|Q|^2)$$O(|Q|^2)$

PS yazıda tanımlanan senkronizasyon gecikmesi minimal deterministik yerel otomat olduğu -local.$k$$k$