Düzenli ağaç dil var mı hangi boyutta bir ağacın ortalama yüksekliği

Düzenli bir ağaç dilini TATA kitabındaki gibi tanımlarız : Belirsiz bir sonlu ağaç otomatiği (Bölüm 1) veya eşdeğerde normal bir ağaç dilbilgisi (Bölüm 2) tarafından üretilen ağaçlar kümesi tarafından kabul edilen ağaçlar kümesidir. Her iki formalizm, iyi bilinen dize analoglarına yakın benzerlikler taşımaktadır.

Düzenli ağaç dil var mı hangi boyutta bir ağacın ortalama yüksekliği $n$ ne $\Theta(n)$ ne de $\Theta(\sqrt{n})$ ?

Açıkçası, bir ağacın yüksekliğinin boyutunda doğrusal olacak şekilde ağaç dilleri vardır; ve kitap içinde Analitik Kombinatorik o boyutta ikili ağaçlar o örneğin gösterilmiştir $n$ ortalama yüksekliğe sahip $2\sqrt{ \pi n}$ . Söz konusu kitabın Önermesi VII.16'yı (s.537) doğru anladıysam, ortalama yüksekliği olan geniş bir düzenli ağaç dilleri alt kümesi vardır. $\Theta(\sqrt{n})$ yani, ağaç dilinin debazı ekstra koşulları yerine getirenbasitbir ağaççeşidiolduğu dilleri.

Bu yüzden farklı bir ortalama yükseklik gösteren normal bir ağaç dili olup olmadığını veya normal ağaç dilleri için gerçek bir ikilik olup olmadığını merak ediyordum.

Not: Bu soru daha önce Bilgisayar Bilimi'nde sorulmuştu , ancak üç aydan uzun bir süredir cevaplanmadı. Soruyu taşımak için çok eski olduğu ve soruyla hala ilgilendiği için burada tekrarlamak istiyorum. Orijinal yayına bir link .

— john_leo
kaynak

Sabit bir derinliğe sahip tek ağaç bariz bir cevaptır: o (\ sqrt {n}), ancak

. Muhtemelen başka bir soru kastettiğine inanıyorum? Değiştir

Ω (\sqrt{n})

$\Omega(\sqrt{n})$

ile

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

belki?

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— Joseph Stack

Evet ve hayır. Ben ortalama derinliği ile düzenli ağaç dili düşünüyorum

(söz hakkından) de çok ilginç olacaktır. Fakat haklısın, bu tür yozlaşmış vakaları dışlamamız gerekiyor. Belki de ağaç dilinin sonsuz sayıda öğe içermesini istemeliyiz?

O (n^{1 / 3})

$O(n^{1/3})$

— john_leo

Aklında ne tür ağaçlar var? Sıralanmamış ağaçlar, sıralanmamış kardeşler, sıralanmamış ağaçlar, sıralanmamış ağaçlar; ve bu arada, ne tür bir ağaç otomatı demek istiyorsun, aşağıdan yukarıya veya yukarıdan aşağı?

— fh

@JosephStack normal bir ağacın yüksekliği nasıl sonsuz olabilir?

düğümlü bir ağacın yüksekliği

büyük olamaz .

n

$n$

n

$n$

— john_leo

@Raphael: Dikkate yoksa

, o soru ne olacağını bana açık değil. Cevabı, "ortalama yükseklik

olan bir

işlevi

şekilde sonsuz bir normal ağaç dili var

lim sup

$\lim\sup$

f

$f$

"açıkça evet: garip

için

ve hatta

sahipolduğunuzdan emin olun.

f (n) \notin Θ (\sqrt{n})

$f(n)\notin \Theta(\sqrt{n})$

f (n) \notin Θ (n)

$f(n)\notin\Theta(n)$

n

$n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

. PS Tahmin edebiliyorum her fonksiyon aittir

bazıları için

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

Θ (g)

$\Theta(g)$

, bu yüzden doğru bir düzeltme değil :)

g \notin {\sqrt{n}, n}

$g\notin\{\sqrt{n},n\}$

— Joseph Stack

Cevabın sizin önerdiğiniz gibi olduğuna inanıyorum , $\Theta(1)$ vemümkündür. Bunu kanıtlamak için umut verici bir yol türeten kağıttanteknikleri uygulamak olabilir. $\Theta(\sqrt{n})$ $\Theta(n)$ $\Theta(\sqrt{n})$ normal dilin ağaçlarınaasimptotik. Bir ağacın bir koşu ağacı varsa kabul edildiğine dikkat edin, bu nedenle ilk olarak (loc.citkullanarak) rastgele oluşturulmuş bir koşu ağacının ortalama yüksekliğini elde etmek ve oradan almak mümkün olmalıdır; ortalama yüksekliği değiştirmeyin.

— Martin Hofmann
kaynak

Bence bu bir yorum ve cevap değil, çünkü bu girişimin işe yarayıp yaramadığına çok açık.

— Danny,