“Permütasyon p setimdeki bir grafiğin otomorfizması mı?” NP-tam?

Diyelim ki bir dizi S grafiğimiz var (sonlu grafikler, ancak sonsuz sayıda) ve S üzerinde etkili olan bir permütasyon grubu P var.

Eşgörünüm: P'deki permütasyon p.

Soru: S'de otomorfizm p'yi kabul eden bir g grafiği var mı?

Bazı S setleri için bu problem NP-tamamlanmış mı?

Bir grafiğin permütasyon p'yi (yani sertifika) kabul edip etmediğini kontrol etmek kolay olacaktır. Dahası, sorunun NP-tam olmadığı S'nin örneklerini bulmak kolaydır, örneğin S tam grafiklerin bir takımıdır, bu nedenle cevap her zaman evettir.

Not: Ne tür grafiklerle gerçekten ilgilenmiyorum; isterseniz basit, yönlendirilmiş, renkli vb.

ADDENDUM: Şu anda baktığım sorun, hangi izotopizmlerin Latin karelerinin ototopizmi olduğunu (özel bir grafik otomorfizması olarak da yorumlanabilir) sınıflandırmaktır.

Latin kare L (i, j) verildiğinde bir grafiği aşağıdaki şekilde oluşturabiliriz:

Köşe kümesi, matristeki (i, j) hücre kümesidir ve
İ = i 'veya j = j' veya L (i, j) = L (i ', j') olduğunda farklı (i, j) ve (i ', j') arasında bir kenar vardır.

Böyle bir grafiğe Latin kare grafiği denir (bkz. Örneğin Bailey ve Cameron'ın http://designtheory.org/library/encyc/topics/lsee.pdf ). Latin karesinin ototopizmini Latin kare grafiğinin otomorfizmi olarak yorumlayabiliriz. Öyleyse S, n sırasının Latin karelerinden oluşan Latin kare grafiklerinden oluşan bir küme olsun. Bu yüzden ilgilendiğim soru:

Bir permütasyon p verildiğinde, p, S'deki grafiklerden birinin (veya daha fazlasının) bir otomorfizmidir?

Benim düşüncem, genel olarak cevaplanması zor bir soru - şu anda bu konuda 30'dan fazla sayfa yazıyorum (2 ortak yazarla). Aslında çoğu zaman kolaydır (çoğu zaman "hayır" dır), ancak bazı zor durumlar vardır.

Bu yüzden "simetri sınıflandırması" ile ilgili karar problemlerini bulmakla ilgileniyorum. Gerçekten Latin kareleriyle ilgili olmaları gerekmiyor, sadece Latin kareleri sorusuna cevap vermek için bu teknikleri kullanmayı umuyorum.

— Douglas S. Taşlar
kaynak

Sorunu doğru anladığımdan emin değilim. S ve P'ye (ve P'nin S üzerindeki grup hareketine) bir örnek verebilir misiniz? Sorunu önemsiz kılan bir örnek (ne evet-ne de hepsi-hayır) sorunun anlaşılmasına yardımcı olacaktır.

— Tsuyoshi Ito

Tam grafik örneğinde, anlamadığım şey, k noktalarındaki bir permütasyonun n noktadaki tam grafik üzerinde nasıl hareket ettiği, burada k ≠ n (özellikle k> n ise).

— Tsuyoshi Ito

Sorunu anladığımı düşünerek kendimi kandırmayı başardım, ama şimdi bilmediğime karar verdim. Veya yalnızca aile P grafiklerde permütasyon S eyleminin grup mu potansiyel aile P grafiklerde hareket?

— Niel de Beaudrap

Buradaki bir sorun, üyelik testinin NP'de olduğu bir set seçmemiz gerektiğidir .

S

$S$

— Emil

Cevaba biraz daha arka plan ekledim. Aslında, genel olarak, grubun S üzerinde hareket edip etmediğini umursamıyorum, "bu permütasyon bu grafiğin otomorfizması mı?" Latin kareleri söz konusu olduğunda, bunu bir grup eylemi olarak yorumlayabiliriz.

— Douglas S. Stones

Herhangi bir dil (ikili dizelerden oluşur) alın. Grafik seti aşağıdaki gibi yapılandırın : $L$ $S$

ile de her dize için , biz grafik bilgisi içinde düğüm grubu ile, aşağıdaki kenarları: bit ise arasında olan , daha sonra ve düğümleri bitişiktir, aksi takdirde ve bitişiktir. Başka kenar yok. $x \in L$ $|x| = n$ $G_x = (V_x,E_x)$ $S$ $V_x = \{1,2,...,3n\}$ $i$ $x$ $0$ $3i-2$ $3i-1$ $3i-2$ $3i$

Şimdi bir permütasyonu . Varsayalım bazı grafiğin bir otomorfizma olan . Yani , bazı için bir otomorfizmidir . Let . Aşağıdaki iki durumu ele alalım: $p$ $\{1,2,...,3n\}$ $p$ $S$ $p$ $G_y$ $y \in L$ $i \in \{1,2,...,n\}$

$p(3i-2) = 3i-1$ , , . Daha sonra biraz olmalıdır arasında için eşit . $p(3i-1) = 3i-2$ $p(3i) = 3i$ $i$ $y$ $0$
$p(3i-2) = 3i$ , , . Daha sonra biraz olmalıdır arasında e eşit . $p(3i-1) = 3i-1$ $p(3i) = 3i-2$ $i$ $y$ $1$

Sorusunu çözebilir Bu nedenle "bir verilen bazı otomorfizmaları , aynı zamanda sorunun çözümü olabilir", belirli bir dizge olup " de ". Dahası, örneğin, ikincisini polinom zamanda yapabilirizde. $p$ $G \in S$ $y$ $L$ $|p|$ $|y|$

Şimdi en sevdiğiniz NP zor probleminiz olmasına izin verebilirsiniz . Ya da durma problemi ... $L$

— Jukka Suomela
kaynak

L

$L$

S

$S$

G_{y} \in S

$G_y \in S$

p

$p$

G_{y}

$G_y$

y \in L

$y \in L$

S

$S$

S

$S$

L

$L$

G_{x}

$G_x$

2 i + a + 1

$2i+a+1$

i

$i$

x

$x$

a

$a$

y \in L

$y \in L$

p

$p$

2 i + a + 1

$2i+a+1$

i

$i$

y

$y$

a

$a$

p \in S_{n}

$p \in S_n$

n

$n$

n

$n$

@Joshua:

dilinin önek içermeyen bir kod kullandığını varsayarsak,

fazla düğüm içeren grafiklere

uygulama olasılığı önemli değil mi?

p \in S_{n}

$p \in S_n$

n

$n$

L

$L$

— Jukka Suomela