Doğrusal sistemler için fizibilite kontrolü ve optimizasyonunun denkliği

Doğrusal bir eşitsizlikler sisteminin fizibilitesini kontrol etmenin, doğrusal programlama kadar zor olduğunu göstermenin bir yolu, elipsoid yöntemi ile verilen azalmadır. Daha da kolay bir yol, optimum çözümü tahmin etmek ve bunu ikili arama yoluyla bir kısıtlama olarak tanıtmaktır.

Bu indirimlerin her ikisi de polinomdur, ancak güçlü bir şekilde polinom değildir (yani eşitsizliklerin katsayılarındaki bit sayısına bağlıdır).

LP optimizasyonundan LP fizibilitesine güçlü bir polinom azalması var mı?

ds.algorithms linear-programming

— Suresh Venkat
kaynak

aslında hayır. Söylediğin gibi. LP optimizasyonunun LP fizibilitesini çözdüğünün farkındayım. Tam tersini istiyorum.

— Suresh Venkat

Optimizasyon çıktısı, "katsayılardaki bit sayısı" kadar bitlere sahip olabilirken, fizibilite evet / hayır'dır. Böylece, indirgeme ile bir şey "kara kutu" demek istiyorsanız -ey o zaman cevap negatif olmalıdır.

— Noam

Ancak, fizibilite kontrolü sadece yukarıda Noam tarafından tartışıldığı gibi bir evet / hayır cevabı vermekle kalmaz, daha ziyade fizibilite durumunda uygulanabilir bir çözüm sağlarsa, cevap LP ikiliği ile evettir.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@SureshVenkat: Diyelim ki primal,

değişkenlerinde bir maksimizasyon programı, diyelim ki ikili

değişkenlerinde bir minimizasyon programı . Daha sonra , primal çözeltinin değerinin en azından ikili çözeltinin değeri olduğunu belirten bir eşitsizlikle birlikte, hem primal hem de dualden gelen kısıtlamaları alarak,

değişkenlerindeki eşitsizlik sistemini oluşturun . LP'nin olanaksız ve sınırsız olması da ele alınabilir.

x

$x$

y

$y$

x, y

$x,y$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Örtülü kısıtlamalar ile tanımlanan politoplar / polihedra ne olacak?

— Chandra Chekuri

Cevap evet ve aslında doğrusal eşitsizliklerin fizibilite karar problemine bile indirgenebilir!

$\max c^Tx\ \text{s.t.}\ Ax \leq b\ ;\ x\geq 0$

Ayrıca , sistemin mümkün olup olmadığına bakılmaksızın, eşitsizlikler sistemi verilen evet / hayır döndüren bir erişebiliriz . $S=\{Bz \leq d\}$

Düşüş şimdi şu şekilde devam ediyor:

in mümkün olup olmadığını test edin . Değilse, P'nin İNANILMAZ olduğunu bildirebiliriz. $S_1=\{Ax \leq b\ ;\ x \geq 0\}$
İkili programı D: . $\min b^Ty\ \text{s.t.}\ A^Ty \geq c\ ;\ y \geq 0$
Deney halinde mümkündür. Değilse, P'nin BAĞSIZ olduğunu bildirebiliriz. $S_2=\{Ax \leq b\ ;\ x\geq 0\ ;\ A^Ty\geq c\ ;\ y\geq0 \ ;\ b^Ty \leq c^Tx\}$
eşitsizliklerini ve bunları sistemine eşitlik olarak tek tek eklemeye çalışın (yani ters eşitsizliği ekleyin) . Sistem uygulanabilir kalırsa, kısıtlamayı , aksi takdirde tekrar kaldırırız. bu şekilde eklenen kısıtlamalar (doğrusal eşitlikler) sistemi olmasına izin verin . sistemi artık tamamen P için en uygun temel çözümü belirleyecektir. $S_1$ $S_2$ $S_2$ $S_3$ $S_3$
Sistem Gauss eleme kullanılarak , optimal bir çözüm hesaplamak P. $S_3$ $x$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
kaynak

Adım 4 ve 5 gerekli değildir. Eğer uygulanabilir, o zaman için en uygun çözümü elde etmiş .

S_{2}

$S_2$

P

$P$

— hengxin

@hengxin. Cevabımın ilk satırında , karar sorununu azaltmayı düşünürken bile cevabın evet olduğunu yazıyor . Aşağıda açıkça bu varsayımı yapıyorum ve bu nedenle adım 4 ve 5 gereklidir.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen