Sıralanmış dizilerin birleşiminden seçin: Zaten biliniyor mu?

Aşağıdaki algoritma / sorun için bibliyografik referanslar arıyorum: "BiSelect" veya "t-ary Select" veya "Sıralı Diziler Birliği'nde Seç" olarak adlandırdım, ama sanırım daha önce başka bir ad altında tanıtıldı?

Sorun

Aşağıdaki sorunu düşünün:

Verilen ayrık sıralı diziler , ilgili boyutları arasında ve bir tamsayıdır , ne bunların sıralanmış birliğin inci değeri ?$k$$A_1,\ldots, A_k$$n_1,\ldots,n_k$$t\in[1..\sum n_i]$$t$ $\cup_i A_i$

Çözümler

K = 2 ise zamanında çalışan çok basit ve zarif bir algoritma vardır : k = 2 ise , A_1 [t / 2] ile A_2 [t / 2] ve A_1 [t / 2..t] ve A_2 [1..t / 2] veya A_1 [1..t / 2] ve A_2 [t / 2..t] 'de buna göre her iki durumda da parametre t / 2 (ve bazı küçük optimizasyonlar N_1 veya n_2 daha küçüktür t ).$O(\lg\min\{n_1,n_2,t\})$$k=2$$k=2$$A_1[t/2]$$A_2[t/2]$$A_1[t/2..t]$$A_2[1..t/2]$$A_1[1..t/2]$$A_2[t/2..t]$$t/2$$n_1$$n_2$$t$

Bu , [1.k] 'de i \ için A_i [t / k] değerlerinin medyanını hesaplamaya dayalı olarak, daha büyük k değerleri için O (k \ lg t) zamanında çalışan biraz daha karmaşık bir algoritmaya genelleme yapar : t / k en küçük elemanlar, A_i [t / k] orta değerden daha küçük olduğu k / 2 dizilerinde daha fazla göz ardı edilebilir ve [tt / k ..] ' deki sıra öğelerinin k / 2'de daha fazla göz ardı edilebilir her dizide t'nin yarıya inmesiyle sonuçlanan diğer diziler (ve medyan için O (k) maliyeti ).$O(k\lg t)$$k$$A_i[t/k]$$i\in[1..k]$$t/k$$k/2$$A_i[t/k]$$[t-t/k..]$$k/2$$t$$O(k)$

Referanslar?

Çözümlerimden memnunum, ancak sorunun (ve çözümünün) zaten bilindiğini düşünüyorum. Medyanı hesaplamak için doğrusal zaman algoritması ile ilgilidir ( büyüklükteki grupları sıralayarak ve aracılarının ortancalarını geri çekerek), ancak biraz daha geneldir. Aarhus'ta (Danimarka) Madalgo'da ve daha sonra Stringology (Rouen) atölyesinde bazı kolejlere başarılı olmadan sordum: Daha bilgili birinin Stack Exchange'de yardımcı olabileceğini umuyorum ...$5$

Motivasyonları

Bu soruna yönelik çözümlerin dizilerdeki Ertelenmiş Veri Yapısına uygulamaları vardır (gerçekten de, dizili dizilerin birleşmesi için ertelenmiş veri yapısında bir operatör olarak görülebilir); ve daha kıvrımlı bir şekilde, en uygun önek içermeyen kodların uyarlanabilir hesaplamasına.

Frederickson ve Johnson tarafından 1982'de tarif edilen algoritma, tüm setlerin aynı boyuta sahip olduğunu düşünmektedir. Ayrıca 1980'de farklı boyutlardaki sıralı setlerin avantajlarından yararlanan en uygun çözümü tarif ettiler. Bu algoritmanın karmaşıklığı .$O(k + \sum^k_{i=1}\log{n_i})$

Referans

Greg N. Frederickson ve Donald B. Johnson. 1980. Genelleştirilmiş seçim ve sıralama (Ön Versiyon). On ikinci yıllık ACM Bilgisayar Teorisi Sempozyumu Bildiriler Kitabı (STOC '80). ACM, New York, NY, ABD, 420-428. DOI = 10.1145 / 800141.804690 http://doi.acm.org/10.1145/800141.804690

Frederickson ve Johnson 80'lerde en iyi sonucu elde ettiler. Bırakın , o zaman probleminizi içinde çözen bir algoritma var .$p=\min(k,t)$$O(k+p \log \frac{t}{p})$

Referans

GN Frederickson, DB Johnson " x + y cinsinden seçim ve sıralamanın karmaşıklığı ve sıralı sütunlara sahip matrisler " J. Comput. System Sci., 24 (2) (1982), s. 197-208

K = 2 kasası paralel birleştirme sıralamasında karşımıza çıkar, çünkü aynı sayıda paralellik sağlamak için farklı dizilerden iki sıralı dizinin birleştirilmesinin iki iş parçacığı arasında bölünmesi gerekir. Bu ödev çözümü bir referanstır.