Durup durmadığı bilinmeyen en küçük Turing makinesi hangisidir?

31

Durma sorununun genel olarak kararsız olduğunu biliyorum ama belli ki durması gereken bazı Turing makineleri ve bazıları da belli değil. Olası turing makinelerinin dışında, hiç kimsenin durup durmadığına dair bir kanıtı olmayan en küçük olan nedir?

halting-problem

— Aaron
kaynak

10

Cevap, makine modelinin özelliklerine (sembol sayısı, vb.) Bağlıdır. Meşgul Beaver hakkındaki Wikipedia makalesine göre, durup durmadığı bilinen 2-sembol 5-sate makinası var.

— Kaveh

1

Aaron'un sorununun, belirli bir dilin geçerliliği ile ilgili olmadığını, ancak gerçekten de belirli bir Turing makinesinin durduğuna dair bir kanıtın mevcudiyeti olduğuna dikkat edin . Herhangi bir Turing makinesi için, "onun" durma sorunu (bu makine boş girişte durursa olsun) "karar verilebilir": ya Evet ya da Hayır, hem de {Evet} ve {Hayır} dilleri belirlenebilir. Bu, makinenin durduğuna dair bir kanıtı olup olmamasından çok farklıdır . Aaron, "

,

üzerinde durdurulamıyor" dilini belirleyemez hale getirecek şekilde en küçük olan

ne demek istiyorsan sorunuzu düzenleyebilir misiniz?

M

$M$

{w ∣ M

$\{w \mid M$

w}

$w\}$

— Michaël Cadilhac

1

@ MichaëlCadilhac Durma problemi genellikle, "Bir makine

ve bir

girişi göz önüne alındığında ,

,

girişi için durur mu?" Olarak yorumlanır. "Bir makine

olduğunda,

tüm girişler için durur mu?"

M

$M$

w

$w$

M

$M$

w

$w$

M

$M$

M

$M$

— David Richerby

@DavidRicherby: Bana göre durma problemi boş girişte duran makinenin dili (kodları). Burada amaçlanan anlam değilse, olası karışıklığı gidermek için belirtilmesi gerektiğini düşünüyorum.

— Michaël Cadilhac

Sorunu incelemenin birçok yolu geçerlidir ve birbiriyle ilişkilidir ve gerçekten de, sorgunun yapmadığı şeyleri ayırt etmede bir incelik vardır.

— vzn

38

Durma sorununun giderilebildiği en büyük Turing makineleri:

(burada ile Turing makineleri dizi durumları ve sembolleri). $TM(2,3), TM(2,2), TM(3,2)$ $TM(k,l)$ $k$ $l$

ve 'ün karar verilebilirliği sınırdadır ve çözülmesi zordur, çünkü bu açık bir problem olan Collatz varsayımına bağlıdır. $TM(2,4)$ $TM(3,3)$

Ayrıca bkz Collatz benzeri Turing makineleri hakkında cstheory benim cevap ve " Küçük Turing makineleri ve genelleştirilmiş meşgul kunduz rekabet P. Michel (2004) tarafından" (ki tahmin ediliyor ayrıca Karar verilebilen olan). $TM(4,2)$

Kaveh'in yorumu ve Mohammad'in cevabı doğrudur, bu nedenle bu tür sonuçlarda kullanılan standart / standart olmayan Turing makinelerinin resmi tanımı için bkz. Turlough Neary ve Damien Woods küçük üniversal Turing makinelerinde çalışır, örneğin küçük üniversal Turing makinelerinin karmaşıklığı: bir anket (Kural 110 TM'ler evrensel olarak zayıftır).

— Marzio De Biasi
kaynak

2

Herhangi bir sonlu Turing makinesi seti için durma sorunu her zaman kararsız değil midir?

de sadece çok sayıda makine bulunduğundan , hangi makinelerin durduğunu ve hangilerinin durmadığını söyleyen bir arama tablosu oluşturmak mümkün olmalı ve bu yüzden bu aramayı kullanan bir Turing makinesi olmalı soruyu doğru cevaplamak için tablo.

T M (4, 2)

$TM(4, 2)$

— Tanner Swett

2

@TannerSwett: burada durdurulması seti düşünün

Turing makineleri hangi bir başka deyişle ya,

Karar verilebilen (bkz Michel en kağıt).

{⟨ M, x ⟩ ∣ M halts on x}

$\{\langle M,x \rangle \mid M \text{ halts on } x\}$

H A L T_{M} = {x ∣ M halts on x}

$HALT_M = \{ x \mid M \text{ halts on } x\}$

— Marzio De Biasi

32

Halting sorununun ZFC'den bağımsız olduğu bazı Turing Makineleri olduğunu da eklemek isterim.

Örneğin, ZFC'de bir çelişki kanıtı arayan bir Turing makinesi alın. Öyleyse ZFC tutarlıysa, durmayacak, ancak ZFC'de kanıtlayamazsınız (Gödel'in ikinci eksiklik teoremi nedeniyle).

Bu yüzden sadece henüz bir kanıt bulamamayla ilgili bir sorun değil, bazen kanıt bile yok.

— Denis
kaynak

ZFC? ZFC ne anlama geliyor? Sadece bağlamdan çözemiyorum.

— Acapulco,

7

@Acapulco lmgtfy.com/?q=zfc&l=1

— Sasho Nikolov

Lol! tamam. Düşündüm. Touché. Bu konuyla derhal ve benzersiz bir şekilde ilgili olacak baş harfleri olacağını düşünmedim. Her halükarda, belirsizlikten kaçınmak için ilk kez belirtildikten sonra "ZFC (Zermelo-Fraenkel set teorisi)" nezaketini eklemenin zarar vereceğini sanmıyorum. :)

— Acapulco

16

@Acapulco, lütfen tur ve yardım merkezine bakın . Herhangi bir teorik bilgisayar bilimcisi, ZFC'nin ne anlama geldiğini bilir, bu yüzden gerçekten bir açıklamaya gerek yoktur.

— Kaveh

1

Özellikle, yakın zamanda keşfedilen, ZFC'den bağımsız durma problemi olan

simgeli makinelerin burada (7918 eyalet), burada ve burada (1919 eyaletlerde) tartışıldığına dikkat edin . Devlet sayısının daha da azaltılacağı neredeyse kesin.

2

$2$

— res

5

Universal Turing makinesinin durup durmadığına dair kimse kanıt yok. Aslında, Halting sorununun kararsızlığının bir sonucu olarak bu tür bir kanıt mümkün değildir. En küçüğü, 25.000 $ 'lık ödül kazandığı Alex Smith tarafından bulunan 2 durumlu 3 sembollü evrensel bir Turing makinesidir.

— Muhammed El Türkistan
kaynak

4

Ancak, belirtilen Wikipedia sayfasına göre, evrenselliğin kanıtına itiraz edildiğine dikkat edin. Ayrıca, bu Turing makinelerinin standart modeli değildir: iddia edilen evrensel makinenin durma durumu yoktur, bu nedenle en azından evrensel bir Turing makinesinin yaptığı standart anlamda durdurulan hiçbir makineyi simüle edemez.

— David Richerby

2

@DavidRicherby: Kuralın (110) zayıf evrenselliğinin oldukça kabul edildiğini düşünüyorum: girişin solunda ve sağında tekrarlanan iki farklı kelime gerektirir ve durma koşulu özel bir planörün üretilmesidir (eğer yalnızca benzetilmiş makine durur). Matthew Cook'un “Temel hücresel otomata evrenselliği” konusuna bakın.

— Marzio De Biasi

-4

birkaç özel teknik yöntemle çalışılabilecek yanlış ifade edilmiş ancak makul bir genel soru. durdurmanın bilinmediği hallerde / sembollerle ölçülen birçok "küçük" makine vardır, ancak hem durumları hem de sembolleri hesaba katan bir TM'nin karmaşıklığının haklı / ölçülebilir bir metriği bulunmadığı sürece "en küçük" bir makine mümkün değildir hiç kimse şu ana kadar bir tane önermedi).

Aslında Meşgul Beavers ile ilgili bu problemi araştırmak, , durumları ve sembollerinin küçük olduğu hiperbolik bir eğri üzerinde yatan birçok "küçük" makinenin bulunduğunu göstermektedir . Aslında, karar verilebilen ve çözülemeyen problemler arasında genel bir aşama geçişi / sınırı olduğu görülmektedir. $x \times y$ $x$ $y$

$x,y$

— vzn
kaynak

2

Sembolleri ve durumları dikkate alarak bir ölçüm yapmak gerekli değildir. Kasette iki sembol bulunduğunda, durma sorununun hemen hemen bütün sayılar için kararsız olduğu açıktır - hatırladığım kadarıyla, sadece beş durumlu evrensel bir TM yazmak mümkündür. Karar verilebilirlik sınırını tam olarak biliyorsak, bu sınırı (# devletler, # semboller) çiftler olarak tanımlamanın kolay olacağından eminim.

— David Richerby

Gerçekten de yoğun kunduz araştırması, TM'lerin az sayıda devlet, sembolle ilk kurulumlar için durup durmadığına dair kanıtlar bulmayı içerir; çözülebilir davalar var. eğer biri “en küçük” olanı istiyorsa, “küçük” olan kesin bir ölçüm yapılmalıdır. Yukarıdaki pt, sadece devletleri veya sembolleri içeren bir metriğin, her ikisini de içeren (ve evrensel olduğu bilinen olmayan makineleri) bilinen sınırı temsil ettiği sürece yanıltıcı olarak kabul edilebileceğidir . Bu araştırmadaki karar verilemezlik sınırının hiçbir şekilde ifade edilmesi "kolay" değildir, temel niteliği budur ....

— vzn

1

2 \leq i \leq 4

$2\leq i\leq 4$

k_{i}

$k_i$

k_{2}

$k_2$

k_{3}

$k_3$

k_{4}

$k_4$

k_{2}

$k_2$

k_{3}

$k_3$

k_{4}

$k_4$

— David Richerby

hiç kimse şu ana kadar herhangi bir ölçüm önermedi. Bu alanda hiçbir önemli sınır "tarif etmek önemsiz" değildir ve bunlardan biri de bu senaryonun Rices aracılığıyla imkânsız olacağını ummaktadır. bu, araştırmaya aşina olduğunun ve evrensel olduğu bilinen (ve evrensel olmadığı varsayıldığından daha küçük) makineler için girdilerin çözülebilirliği ile ilgilenen atıfta bulunulan referansla ilgili olduğunu gösteriyor . Yorumlarınız evrensel ve rakipsiz makine sınırlarına odaklanmış gibi görünüyor; bunlar örneğin alıntı yapılan referanslarda (hem yukarıda hem de Marzio'nun) araştırılan yoğun kunduz kararlılık sınırlarıyla aynı değil.

— vzn

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$