Sert görünümlü algoritmik problemler teoremler tarafından kolaylaştırıldı

Aşağıdaki fenomenin gerçekleştiği güzel örnekler arıyorum: (1) Tanımlardan çalışarak ve sadece standart sonuçları kullanarak çözmek için algoritmik bir problem zor görünüyor. (2) Öte yandan, bazı (çok standart olmayan) teoremleri biliyorsanız, kolaylaşır.

Bunun amacı, daha fazla teorem öğrenmenin, teori alanının dışında kalanlar için bile (yazılım mühendisleri, bilgisayar mühendisleri vb.) Faydalı olabileceğini göstermektir. İşte bir örnek:

Soru: Verilen tamsayılar , bir vertex grafiği var mı (eğer öyleyse bir tane bul), öyle ki, köşe bağlantısı , kenar bağlantısı ve minimum derecesi ?n k $n, k, l, d$$n$$k$$l$$d$

Parametrelerin verilen sayılara tam olarak eşit olmasını istediğimizi, sadece sınırların olmadığını unutmayın. Bunu sıfırdan çözmek istiyorsanız, oldukça zor görünebilir. Öte yandan, aşağıdaki teoremi bilirseniz (bkz . B. Bollobas'ın Ekstrem Grafik Teorisi ), durum oldukça farklı hale gelir.

Teorem: tamsayı olmasına izin verin . Aşağıdaki koşullardan birinin yerine getirilmesi durumunda, köşe bağlantısı , kenar bağlantısı ve minimum derece olan bir vertex grafiği vardır :n $n, k, l, d$$n$$k$$l$$d$

• $0\leq k\leq l \leq d <\lfloor n/2 \rfloor$ ,
• $1\leq 2d+2-n\leq k\leq l = d< n-1$
• $k=l=d=n-1.$

Bu koşulların kontrolü çok kolaydır, girdi parametreleri arasında basit eşitsizlikler vardır, bu yüzden varoluş sorusu zahmetsizce cevaplanabilir. Ayrıca, teoremin ispat yapıcı, inşaat sorunu da çözer. Öte yandan, bu sonuç yeterince standart görünmüyor, böylece herkesden bunu bilmesini bekleyebilirsiniz.

(Çok standart olmayan) bir teoremi bilmek bir görevi büyük ölçüde kolaylaştırırsa, bu ruhta başka örnekler verebilir misiniz?

Çarpım tablolarıyla verilen basit grupların izomorfizmine karar vermek . Bunun polinom zaman içerisinde yapılabilmesi, tüm sonlu basit grupların en fazla 2 eleman tarafından üretilebildiğinden ve şu anda bu gerçeğin bilinen tek kanıtı Sonlu Basit Grupların Sınıflandırmasını kullanmasından kaynaklanmaktadır (belki de en büyük teorem - yazarlar, bildiriler ve sayfalar açısından - kanıtlanmış).

Sorunuzu doğru anlarsam, bir kanonik örnek grafiğinin Eulerian devre olup olmadığına karar verir : G'nin bağlı olduğunu ve her tepe noktasının eşit derecede olduğunu kontrol etmeye eşdeğerdir .$G$$G$

Bu öğleden sonra Stringology okuyordum - "Gerçek" string teorisi .

Sorun: Eğer ve y bazı pozitif tam olduğunda herhangi bir alfabede iki dizeyi olan m , n, o tür x m = y n .$x$$y$$m, n$$x^m = y^n$

Teorem: pozitif tamsayıları vardır, öyle ki x m = y n ise ve sadece x y = y x ise .$m,n$$x^m = y^n$$xy = yx$

Gerçek bir polinomun (farklı) gerçek köklerinin sayısını ℝ veya belirli bir aralıkta bulmak. Sturm teoremi, bir polinomun gerçek köklerinin sayısını gerçek katsayılarla saymak için az sayıda gereksinimi karşılayan bir polinom dizisinin kullanılabileceğini söyler.

O zaman tek yapmanız gereken, böyle bir sekans oluşturmaktır (bu çok zor değil, ancak bazı son vakalar ve ayrılmaz polinomların durumunun ele alınmasını gerektirir) ve Bob sizin amcanız.

Şaşırtıcı bir şekilde, çok az olmasına rağmen çok az insan bu sonucu biliyor (1829). Birçok Bilgisayar Cebir Sisteminde kullanılır, ancak Sturm Teoremini hiç tanımadığım veya üniversitemdeki tüm matematik profesörleri ya da sadece ismiyle bildiklerini ve polinomların kökleriyle ilgisi olduğunu biliyorlardı.

Eğer böyle bir şeyin onlara Çoğu insan oldukça şaşırttı sayma gerçek kökleri tam olarak bu kolaydır ve düşünüyor, herhangi tahminini gerektirmez bulma kökleri çok daha zordur. (Derecesi ≥ 5 olan polinomlar için, kökler için “uygun” bir formül bulunmadığını unutmayın)

Teorem: Her düzlemsel grafiğin derecesi en fazla 5 olan bir tepe noktası vardır.

Sorun: ( u , v ) ' nin O ( 1 ) zaman içinde bir kenar olup olmadığını kontrol edebileceğimiz düzlemsel grafiklerin bir temsilini tasarlayın .$O(n)$$(u, v)$$O(1)$

Köşeyi en fazla 5 dereceye kadar çıkarabilir ve listeye bir anahtar olarak ve komşularını değer olarak ekleyebiliriz. Kalan grafik de düzlemseldir ve en fazla 5 dereceye sahip bir tepe noktası vardır. Böylece tüketilen alan en fazla . Eğer biz kontrol edebilirsiniz u bitişik olması listesinde olduğu v ; değilse, v'nin u'nun bitişik listesinde olup olmadığını kontrol edebiliriz . Bu en fazla 10 adım atıyor.$5n$$u$$v$$v$$u$$10$

Bence bu kategori için posterchild, en azından zorluk asimetrisi ile ilgili olarak, şu sorundur:

düzlemsel bir grafik verildiğinde G 4 renklendirilebilir mi?$G$$G$

Dört renk teoremi için algoritma kolaylaştırır return true.

Gerçek (çok değişkenli) bir polinomun gerçek polinomların karelerinin toplamı olarak ifade edilip edilemeyeceği, yarı-kesin programlamaya indirgenerek çözülebilir. SDP'yi ve SDP'nin verimli bir şekilde çözülebileceğini bilmeniz gerekir.$p$

Başka bir örnek: yönlendirilmemiş bir grafik verildiğinde, tüm kenarların ayrık olduğu minimum bir kesime sahip midir? Eğer öyleyse, birini bulun.

$n$$n(n-1)/2$

Minimum kesmeden daha büyük olan, en çok sabit bir faktörle neredeyse minimum kesimlere uzatılabilir. Onların sayısı hala bir polinom tarafından sınırlandırılmıştır.

(Bir referans aramamıştım, hatırladığım kadarıyla bu sonuçlar D. Karger’dan kaynaklanıyor.)

Sorun: Bir MSO (monadic ikinci dereceden mantık) formülünün sonlu kelimeler üzerinden karşılanabilirliği.

Teorem: MSO, sonlu sözcükler üzerindeki sonlu otomata eşdeğerdir.

Yukarıdakiler sonsuz kelimelere, sınırlı ağaçlara, sonsuz ağaçlara kaldırılabilir.

Biraz daha karmaşık bir örnek: negatif olmayan rütbenin sabit olduğu durumlarda negatif olmayan matris faktörü

$A \in M_{m \times n}$$U \in M_{m \times k}$$V \in M_{k \times n}$$A = UV$$A$

$O(r^2)$$r$

$(mn)^{O(r^2)}$$U$$V$$(mn)^{o(r)}$

Karar Diffie Hellman

$(g, g^a, g^b, g^c)$$g$$\mathbb{G}$$g^c = g^{ab}$

Kesikli log probleminin standart sertlik varsayımları altında, bu problem de zor görünebilir.

$e: \mathbb{G} \times \mathbb{G} \rightarrow \mathbb{G}_T$

Bu konuda daha fazla okunabilir karar karar diffell-cehennem sorunu , Boneh'98 veya Eşleşmeler google arama

(Önemsiz) Sonlu bir oyunda Nash dengesinin varlığı, bir kübik grafikte çift sayıdaki Hamilton Yolu, çeşitli sabit puan tipleri, kısmi sıralarda iyi dengelenmiş karşılaştırmalar ve diğer birçok PPAD problemi.

$((V, E), s, t)$$E' \subset E$$s$$t$$(V, E')$$E'$

$s$$t$$(V, E)$$s$$t$

İşte başka bir örnek: yönlendirilmemiş basit bir grafik verildiğinde, iki köşe ayrık devreye sahip olup olmadığına karar verin.

$\leq 2$$\geq 3$

$\geq 3$$K_5$$K_{3,n-3}$

Grafiğin Teorem tarafından izin verilen grafiklerden biri olup olmadığını kontrol etmek kolay olduğu için, bu bize karar problemi için polinom-zaman algoritması sağlar.

Notlar: (1) Teoremin ispatı hiç de kolay değil. (2) İki ayrık devrenin var olduğuna karar verdikten sonra, ilişkili arama problemini nasıl çözeceğimizi , yani bu devreleri nasıl bulacağımızı daha az net olarak görüyoruz . Teorem buna doğrudan bir tavsiyede bulunmaz.

daha az karmaşık örnekler: Bazı problemler için açgözlü algoritmaların en uygun olduğunu gösteren bazı teorem benzeri özellikler vardır. başlatılmamış için çok açık değil , açgözlü bir algoritmayla asgari yayılan bir ağaç bulunabilir. Bir şekilde kavramsal olarak da Dijkstra'nın grafikteki en kısa yolu bulma algoritmasıdır . aslında her iki durumda da ilişkili "teoremler" neredeyse algoritmalarla aynıdır.

Diğer Fibonacci sayılarının ürünü olan Fibonacci sayılarının sırasını bulun. Örneğin, 8 numaralı Fibonacci sayısı 8'tir, çünkü 8 = 2 * 2 * 2 ve 2, 8'e eşit olmayan bir Fibonacci numarasıdır. Fibonacci 144 numaralı sayı, 144 = 3 * 3 * 2 * olur. 2 * 2 * 2 ve hem 2 hem de 3, 144'e eşit olmayan Fibonacci sayılarıdır.

Carmichael teoremi, 8 ve 144'ün bu dizinin tek şartı olduğunu ima ediyor.