Maksimum çift çiftli ayrık set sayısını bulmanın karmaşıklığı

Varsayalım $P$ elemanlardan alınan setler $r$olası olanlar. Her setin boyutu$n$ ($n<r$), burada kümeler çakışabilir. Aşağıdaki iki sorunun NP-tamamlanmış olup olmadığını belirlemek istiyorum:

Sorun A. var mıdır$M$ ($1 \le M \le P$) içinde farklı kümeler$P$ kümeler (yani, çift yönlü kesişimleri boş)?

Sorun B. Şimdi$k$ ($k<n$) elemanları her setten seçilebilir. Varmı$L$ ($1 \le L \le P$) farklı boyut setleri$k$ her biri $P$kümeler? Sadece bir setin$k$ elemanlar her setten alınabilir $n$ elementler.

Açıklama : ben esas dava ilgileniyorum nerede$k,n$ sabittir ($n \ge 2, k \ge 2$).

Bence Problem A, $n$-uniform $r$-partit hiper-grafik eşleme problemi. Yani,$r$ ve her bir hiper kenar, $n$ grafiğin köşeleri.

1. İçinde $n$-uniform $r$-partit hiper-grafik eşleme problemi NP-tamamlandı?

2. Sorun B'nin kardinalitenin farklı hiper kenarlarının sayısını bulmaya eşdeğer olduğunu düşünüyorum $k$ kardinalitenin hiper kenarlarından alınır $n$. Bu kısıtlı sürüm (her birinin$k$- kardinalite seti önceden seçilmiş bir gruptan alınır. $n$ keyfi olarak alınan öğelerden $r$ NP) tam mı?

Örnek ($n=3,r=5, P=3$):

$A=\{1,2,3\}$, $B=\{2,3,4\}$, $C=\{3,4,5\}$

Eğer $k=n=3$, sadece var $M=1$ ayrı bir set, yani $A$ veya $B$ veya $C$, her çiftten beri $(A,B)$, $(A,C)$, $(B,C)$ boş olmayan bir kavşağa sahiptir.

Eğer $k=2$, sahibiz $L=2$ farklı kümeler: bir çözüm $\{1,2\}$, $\{3,4\}$ (alt kümeleri $A$ ve $B$).

Bu, Maksimum Set Paketleme Probleminin özel bir durumudur ve hem A hem de B problemleri NP-Complete'tir . Sorun sadece olduğunu unutmayın eşleştirme sorunu varsa$n=2$ ve ayrıca eğer $n=1$. Bu yüzden varsayacağım$n \ge 3$.

Soruyu sormak yerine,

Varmı $M$ arasında ayrık setler $P$ kümeler?

Aşağıdaki soruyu soralım

Şuradan alabileceğimiz maksimum ayrık set sayısı nedir? $P$ kümeler?

İkinci soru polinom zamanında cevaplanabilirse, ilk sorudur, çünkü tek yapmamız gereken bu maksimum değeri $M$ve çıkış EVET ise$M$bu maksimum değerden küçük veya ona eşit, aksi takdirde HAYIR .

Ayrıca, ilk soru polinom zamanında cevaplanırsa, ikincisi de ikili aramayı kullanabileceğimiz için $M$ ve ikinci sorunun cevabını alınız ve sadece $O(\log{M})$

Böylece her iki sorunun da eşdeğer olduğu sonucuna varabiliriz. yani Soru 1, yalnızca Soru 2 de varsa polilomiyal zamanla çözülebilir.

Ayrıca, problemlerin NP'de olduğu açıktır, çünkü $M$ çıkan setler ayrıktır.

Şimdi soru şu, bilinen bir NP-Hard problemini buna nasıl indirebiliriz? Bunu yapmak için, ayarlanan maksimum paketleme probleminden azalırız . A problemine odaklanacağım çünkü problem B'nin ayarlanarak kolayca zor olduğu gösterilebilir$k=n-1$

Maksimum ayarlanan paketleme sorununun keyfi bir örneğini düşünün $T$. Problem A ile orijinal maksimum ayarlanmış paketleme problemi arasındaki tek farkın problem A'da setlerin boyutunun eşit olması gerektiğine dikkat edin. İzin Vermek$t$ tüm setler arasında maksimum kardinalite olun $T$. Her sette$T$ Aynı kardinaliteye sahip olduk, bitti ve set kapak problemi tam olarak problem A. Şimdi bazı setler için $S_i \in T$, sahibiz $|S_i| < t$. Sadece ekliyoruz$(t-|S_i|)$ elemanlar $S_i$ herhangi bir kümenin öğeleri olmayan $T$. Bu işlemi tüm setlere kadar tekrarlıyoruz$S_i \in T$aynı boyuta sahip. Yeni elemanların bu şekilde eklenmesinin, maksimum ayrık set sayısının boyutunu değiştirmediği açıktır.

Yani, eğer sorunu çözebilirsek $A$ polinom zamanda, polinom zamanında maksimum ayarlanmış paketleme problemini çözebiliriz, çünkü tek yapmamız gereken eklediğimiz ekstra elemanları kaldırmaktır ve bunu yapmak, maksimum ayrık set sayısının boyutunu değiştirmez $T$.

EDIT - B sorunu hakkında bazı ek bilgiler

Diyelim ki B probleminin bir polinom zaman çözümü var, şimdi keyfi bir örnek düşünün $T$ A probleminin $n$set başına elemanlar. Şimdi bir kukla öğe ekliyoruz$d$ her sette $T$. Şimdi şu soruyu soruyoruz.

Alarak elde edebileceğimiz maksimum ayrık set sayısı nedir? $n$ Her setten öğeler?

Artık maksimumdaki setler arasında en fazla birisinin kukla element içerebileceğini biliyoruz, dolayısıyla maksimum olarak aldığımız cevap $M$, daha sonra örneğin gerçek maksimum set sayısı $T$ (orijinal sorunumuz A) ya $M$ veya $(M-1)$, ancak bu ayarlanan maksimum paketleme için sabit bir faktör yaklaşımı verir. Ve böyle bir yaklaşım ancak$P=NP$. B problemi de zor.