NP’de önemsiz üyelik

bir dilin örneği var mı $NP$, ancak bu gerçeği doğrudan bu dilin üyeliğine dair çok sesli bir tanık olduğunu göstererek kanıtlayamadığımız bir yer var mı?

Bunun yerine, dilin olduğu gerçeği, bu ikisi arasındaki bağlantının önemsiz olmadığı ve dikkatli bir analiz gerektirdiği N $NP$ başka bir dile indirgenerek kanıtlanmış olacaktır .$NP$

Daha genel olarak yaşanan sorunların bazı ilginç örnekler vardır $NP$ yüzden onlar olduğunu görmek zor olduğunu $NP$ ?

Yarı cevap, parite oyunlarında kazananı belirleme sorunu olacaktır: $NP$ (hatta $NP\cap coNP$ ) olduğunu göstermek için, derin ve önemsiz olan konumsal belirleme teoremine ihtiyacımız var. Ancak bu cevap ideal değildir, çünkü hala bu kesin problem için (pozisyonel strateji) bir polinom tanığının varlığına düşmektedir ve başka bir farklı problemine indirgenmemektedir $NP$.

Bir diğeri, AKS primalite algoritması olacaktır: bir sayının asal olup olmadığına karar vermek polinom olup, bunun için küçük bir tanık yoktur. Diyelim ki "şaşırtıcı polinom algoritmalarını" dışladık, çünkü birçoğu yukarıdaki açıklamaya uyacak. Daha belirleyici olmayan şaşırtıcı $NP$ algoritmalarıyla daha çok ilgileniyorum .

Tamsayılı Programlama .

Bir tamsayı çözümü varsa o zaman bir polinom boyutunda bir tamsayı çözümü olduğunu oldukça gösteriyor. Görmek

• Christos Papadimitriou, " Tamsayılı Programlamanın Karmaşıklığı Üzerine ", JACM, 1981.

Sorun "grafiğin geçiş sayısı en fazla mı?" önemsiz olarak NP’de, doğrusal geçiş sayıları ve çift ​​geçiş sayıları için ilgili sorunların NP üyeliği açık değildir; bakınız Bienstock, Muhtemelen zor geçiş sayı problemleri, Ayrık Hesaplama. Geometry 6 (1991) 443-459 ve Schaefer ve diğerleri, NP, J. Comput. Sistem Bilimi 67 (2003) 365-380.$k$

En sevdiğim örnek, Ashok Chandra ve Philip Merlin'in klasik bir 1977 sonucudur . Sorgu çevreleme sorununun konjonktürel sorgular için kararsız olduğunu gösterdiler. Bağlantılı sorgu içerme sorunu, iki giriş sorgusu arasında bir homomorfizm olup olmadığına karar vermeyle eşdeğerdir. Bu, sonsuz bir küme üzerinde nicelemeyi içeren, yalnızca sınırlı sayıda olası homomorfizmayı kontrol etmeyi gerektiren, sözdizimsel bir problemi tekrarlayan bir anlambilimsel problemi yeniden ifade eder. Homomorfizm sertifikası sadece doğrusal boyuttadır ve bu yüzden sorun NP cinsindendir.

Bu teorem, veritabanı sorgu optimizasyonu teorisinin temellerinden birini sağlar. Fikir, bir sorguyu bir başkasına daha hızlı bir şekilde dönüştürmektir. Bununla birlikte, biri optimizasyon işleminin, orijinal sorgunun sonuç ürettiği bazı veritabanlarına cevap veremeyen yeni bir sorgu oluşturmadığı güvencesini almak ister.

Resmen, bir veritabanı sorgusu biçiminin bir ifadesidir , burada , serbest değişkenlerin bir listesidir, bağımlı değişkenlerin bir listesidir ve , ilişkisel sembolleri olan bir dilin ve değişkenleriyle birinci dereceden bir formüldür . sorgusu varoluşsal ve evrensel niceleyiciler içerebilir, formül ilişkisel atomların bağlanma ve ayrılmalarını içerebilir ve olumsuzlama da görünebilir. Bir sorgu kümesi olan bir veritabanı örneğine ( uygulanır . Sonuç, bir takım kümelerdir; ne zaman$\mathbf{x}.Q(\mathbf{x},\mathbf{y})$$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$$Q(\mathbf{x},\mathbf{y})$$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$$Q$$I$$\mathbf{t}$ sonuç için ikame sonra formül sağlanabilir. Bir sonra iki sorgu karşılaştırabilirsiniz: bulunan zaman eğer keyfi bir veritabanı örneğine uygulanan bazı sonuçlar üretir, daha sonra aynı örneğine uygulanan de bazı sonuçlar üretir. ( sonuç ancak sonuç veriyorsa değil , ancak sınırlandırma için uygulamanın her olası örnek için geçerli olması gerekir.) Sorgu tutma sorunu sorar: iki veritabanı sorgusu verildi$\mathbf{x}$$Q(\mathbf{t},\mathbf{y})$$Q_1$$Q_2$$Q_1$$I$$Q_2$$I$$Q_1$$Q_2$$Q_1$ve , , yer mu?$Q_2$$Q_1$$Q_2$

Chandra-Merlin'den önce sorunun çözülebilir olduğu açık değildi. Sadece tanımını kullanarak, olası tüm veritabanlarının sonsuz kümesini ölçmek gerekir. Sorgular sınırlanmayan, o zaman bir sorun, aslında, undecidable: let daima doğrudur bir formül, daha sonra bulunan IFF geçerlidir. (Bu Hilbert'in 1936'da Kilise ve Turing tarafından kararsız olarak gösterilen Entscheidungsproblem'idir .)$Q_1$$Q_1$$Q_2$$Q_2$

Kararsızlığı önlemek için konjonktürel bir sorgu oldukça sınırlı bir şekle sahiptir: sadece varolan nicelleştiricileri içerir ve olumsuzlama ve ayrılmaya izin verilmez. Bu nedenle, yalnızca ilişkisel atomların birleşimiyle pozitif bir varoluşsal formüldür. Bu küçük bir mantık parçasıdır, ancak büyük miktarda yararlı veritabanı sorgusunu ifade etmek yeterlidir. SQL'deki klasik ifade, konjonktürel sorguları ifade eder; çoğu arama motoru sorgusu konjonktürel sorgulardır.$Q$$Q$SELECT ... FROM

Biri, sorgular arasındaki homomorfizmleri basit bir şekilde tanımlayabilir (biraz fazladan defter tutma ile grafik homomorfizmine benzer). Chandra-Merlin teoremi der ki: iki birletimli sorguları verilen ve , bulunan bir sorgu homomorfizması bir iff için . Bu, NP üyeliğini oluşturur ve bunun da NP zor olduğunu göstermek kolaydır.$Q_1$$Q_2$$Q_1$$Q_2$$Q_2$$Q_1$

• Ashok K. Chandra ve Philip M. Merlin, İlişkisel Veri Tabanlarında Konjonktürel Sorguların Optimal Uygulanması , STOC '77 77-90. doi: 10.1145 / 800105.803397

Sorgu çevrelemenin karar verilebilirliği daha sonra konjonktürel sorgular birliğine (ayrılmaya izin verilen yerde varolan pozitif sorgular) genişletildi, ancak izin verilmesi karmaşıklığı yükseltir . Karar alma ve karar verilemezlik sonuçları, daha genel bir sorgu tutma şekli için, cevap sayısını sayarken, ek açıklamaları provenatta birleştirirken veya sorguların sonuçlarını olasılık veritabanlarında birleştirirken ortaya çıkan semiring değerlerini içeren bir sonuç ortaya koymuştur.$\Pi^P_2$

Ikinci dereceden diophantine denklemleri hakkında bazı makaleler okurken iyi bir aday buldum:

JC Lagarias, İkili ikinci dereceden Diophantine denklemlerinin çözümleri için Succinct sertifikaları (2006)

Anahtar kaynaktan: ... Let ikili kuadratik Diofant denklem ikili kodlama uzunluğu belirtmek tarafından verilen . , negatif olmayan bir tamsayı çözümüne sahip bir denklem olduğunu varsayalım . Bu makale, bitinde kontrol edilebilecek bir çözüme sahip olduğuna dair bir kanıt (yani “sertifika”) olduğunu göstermektedir operasyonlar. Bu sonucun bir sonucu olarak, kümesinin karmaşıklık sınıfındadır ...$L(F)$$F$$a x_1^2 +b x_1 x_2+ c x_2^2 +d x_1+e x_2 + f = 0$$F$$F$$O(L(F)^5 \log L(F) \log \log L(F))$$\Sigma = \{F : F \text{ has a nonnegative integer solution}\}$

... ama - dürüst olmak gerekirse - benim için önemsiz olduğuna dair tek kanıt kağıdın sayfa sayısıdır ... 62! :-)

Tolerans grafiği tanımanın tanınması açıkken, aşağıdaki makale NP olduğunu gösterdi:

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X04000940

(Daha sonra tolerans grafiği tanımanın NP'nin tamamlandığı gösterildi: http://arxiv.org/abs/1001.3251 )

Çeşitli sonsuz durumlu sistemler için ulaşılabilirliğe karar vermek bazen kesin değildir. Bazı ilginç özel durumlar için, yeterince küçük ve etkili bir kontrol edilebilir sertifika her zaman mevcuttur; Bir sayaçlı parametrik otomatlar için temiz bir işlem:

• Christoph Haase, Stephan Kreutzer, Joël Ouaknine, James Worrell, Özlü ve parametrik tek sayaçlı otomatlarda ulaşılabilirlik, CONCUR 2009, LNCS 5710 369-383. doi: 10.1007 / 978-3-642-04081-8_25 ( genişletilmiş sürüm )

Bir sorunun olup olmadığına karar vermenin çok zor olduğu bir örnek (kuşkusuz yapay olmasına rağmen) . Let iki dil olmak ve . Şimdi dilini aşağıdaki gibi tanımlayın:$NP$$L_1, L_2$$L_1\in NP$$L_2\notin NP$$L$

Sonra kesin ikiz asal varsayım doğruysa. Varsayım ya doğru ya da değil olduğundan, ya da olmasın, gerçekten iyi tanımlanmıştır . Bununla birlikte, hangisinin böyle olduğuna karar vermek, yani üyeliğine karar vermek , ünlü iki asal varsayımı çözme anlamına gelir, bu yüzden kesinlikle önemsizdir ...$L\in NP$$L\in NP$$NP$