Çoğunluk fonksiyonunun devre karmaşıklığı

13

Let çoğunluğu fonksiyonu, yani hem , ancak ve ancak . Aşağıdaki gerçeğin basit bir kanıtı olup olmadığını merak ediyordum ("basit" ile Valiant 84'ün yaptığı gibi olasılıksal yönteme veya sıralama ağlarına güvenmemek, tercihen devrenin açık, basit bir şekilde yapılandırılmasını sağlamak): $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $f(x) = 1$ $\sum_{i = 1}^n x_i > n/2$

$f$ , kapılar DEĞİL kapıları, 2-girişli OR kapıları ve 2-girişli VE kapıları içeren derinlik, poli (n) büyüklükteki devrelerin bir ailesi tarafından hesaplanabilir . $O(\log(n))$

— matthon
kaynak

6

Bu ilginç olabilir: Igor Sergeev, Çoğunluk fonksiyonunun formül büyüklüğü için üst sınırlar ; ayrıca burada biraz daha iyi üst sınırlar duyurdu. Ancak, sadece devreleri ( formülleri değil ) sorarsanız , Igor'un hatırlattığı gibi, her simetrik boolean fonksiyonunun (sadece çoğunluk değil) bir derinlik devresi ve boyutu vardır : sadece toplamı hesaplayın bir s ve bir Boole fonksiyonu gerçekleştirmek değişkenler. Çoğunlukla, bu ikinci fonksiyon ile bir karşılaştırmadır .

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

1

$1$

\log_{2} n

$\log_2n$

n / 2

$n/2$

— Stasys

@Stasys ve bunların sayısını hesaplamak temelde bitleri sıralıyor.

— Kaveh

9

Kaveh cevabı bir cevap onu belirttiğimiz gibi soru yapmak sağlar (ve bu olduğunu gösteren için olağan kanıtıdır bulunan ). Ama aslında biraz farklı bir soru sormayı düşünmüş olabileceğinizi düşünüyordum. Yani çoğunluk için açık bir polinom boyutu monoton formülü için. $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{NC}^1$

Çoğunluk monoton olduğundan, monoton bir formülle hesaplanabileceğini biliyoruz. Bilinen iki yapı polinom büyüklüğünde monoton formüller, yani bahsettiğiniz iki, Valiant'ın olasılıksal inşaat ve sıralama ağları yoluyla inşaat. Bildiğim kadarıyla, sıralama ağları tarafından sağlanandan daha basit bir deterministik yapıya sahip değiliz.

Bununla ilgili de şu. Çoğunluğun yalnızca kapıdan oluşan (ve sabit olmayan!) Formüllerle hesaplanabileceği ortaya çıktı . Valiant'ın olasılık yapısı derinlik formüllerini verecek şekilde adapte edilebilir . Ancak burada hiçbir deterministik yapı bilinmemektedir. Özellikle sıralama ağları bunun için uygun değildir (teknik neden: tüm eşik fonksiyonlarını sağlarlar ve sadece çoğunluk fonksiyonu kapıları ile hesaplanabilir ). Bununla birlikte , Log-Deep Eşik Formülleri ile Verimli Çok Partili Protokoller makalesinde bu soruda son zamanlarda ilerleme kaydedilmiştir. $\mathsf{MAJ}_3$ $O(\log(n))$ $\mathsf{MAJ}_3$ Cohen ve ark. Burada bu formüller standart karmaşıklık-teorik veya kriptografik varsayımlara dayanan yapılardır.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
kaynak

9

Kısıtlanmış eşik geçidi ( ) temel olarak giriş bitlerini sıralamaktır. $\sum_i x_i \geq k$

Bitleri sıralayabilirseniz, sonucu ile karşılaştırmak ve kısıtlı eşiği hesaplamak kolaydır . $k$

Öte yandan, sınırlı eşiği hesaplamak için bir devremiz olduğunu varsayalım. Girişte yer alanların sayısını bulmak ve sıralı listeyi çıkarmak için paralel bir arama yapabiliriz.

Bunlar devre derinliğini korur. Kısıtlı eşiği hesaplamak için yeni bir devresi , derinlik sıralama devresi verecektir . Dolayısıyla, çoğunluğu göstermek için basit bir argüman ortaya , basit bir derinlik- sıralama devresi (AKS sıralama ağına dayalı olandan farklı buldunuz . $\mathsf{NC^1}$ $O(\lg n)$ $\mathsf{NC^1}$ $O(\lg n)$

Çoğunluk geçidine yeni 1 ve 0 girişleri ekleyerek çoğunluk kullanarak kısıtlı eşiği uygulamanın kolay olduğunu unutmayın.

Daha önce bu cevap, bölme ve fethetme kullanılarak yapılabileceğini ve ikili toplama işleminin içinde olduğunu iddia ediyordu . Bu, doğrudan yaparsak ikili sınırsız fan giriş kapılarımız olduğundan, çoğunluğun ve içinde olduğunu gösterir. Ancak biraz daha fazla iş ile yapılabilir. $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^1}$ $\mathsf{NC^2}$

derinliğinde kalmak için üçe iki denilen numarayı kullanmalıyız . $O(\lg n)$

üçe iki ikili toplama:
üç ikili sayı verildiğinde iki ikili sayıyı , şekilde hesaplayabiliriz . $a,b,c$ $x,y$ $a+b+c = x+y$

Başka bir yöntem, eklemenin ve fan-in 2'de yapılabileceği tamsayıların imzalı rakam temsilini kullanmaktır . (Fikir, bir sayının birden fazla şekilde temsil edilebileceği esnekliği kullanmaktır. taşıma yayılmaz). $O(1)$

Bkz. Bölüm 4 ve alıştırma 4

David Mix Barrington ve Alexis Maciel, " Hesaplamalı Karmaşıklık İleri Düzey Kursu ", ders 6, IAS / PCMI, 2000.

— Kaveh
kaynak

Bana göre her ikisi de derinliğinin deterministik sıralama devrelerini veriyor (ve aynı zamanda derinliğinin daha basit bir deterministik sıralama ağlarına yol açabilir .

O (\lg n)

$O(\lg n)$

O (\lg n)

$O(\lg n)$

— Kaveh

7

Herhangi bir simetrik fonksiyonun logaritmik derinlikte {AND, OR, NOT} üzerindeki devrelerle hesaplanabileceğinin kanıtı (ör., Ingo Wegener tarafından Boole İşlevlerinin Karmaşıklığında (Teorem 4.1, sayfa) bulunabilir. 76). Karşılık gelen devre doğrusal boyuta sahiptir. Ve derinlik logaritmik olduğundan, polinom boyutunun bir formülüne dönüştürülebilir. Kanıt temeldir ve açık bir yapı sağlar. Temel olarak, giriş bitinin toplamının logaritmik derinlikte ikili gösteriminin nasıl hesaplanacağını gösterir (bu toplamı alarak çoğunluğu hesaplamak kolaydır). $n$

Alternatif bir kanıt Brodal ve Husfeldt tarafından verilir: Simetrik Fonksiyonların Logaritmik Derinliğe Sahip Olduğu İletişim Karmaşıklığı Kanıtı . Yine, kanıt temeldir ve açık bir yapı sağlar.

— Alexander S. Kulikov
kaynak