Keyfi simetrik fonksiyonları kandırmak

Bir dağıtım söylenir ε bir işlev -fool f eğer | E x ∈ U ( f ( x ) ) - E x ∈ D ( f ( x ) ) | ≤ ϵ . Ve eğer o sınıftaki her fonksiyonu kandıracaksa bir sınıf fonksiyonunu kandırdığı söylenir. Ε- dışı alanların parite sınıfını altkümeler üzerinde kandırdığı bilinmektedir . (bkz. Alon-Goldreich-Hastad-Peralta$\mathcal{D}$$\epsilon$$f$$|E_{x\in U}(f(x)) - E_{x\in \mathcal{D}}(f(x))| \leq \epsilon$

$\epsilon$bu tür alanların bazı güzel yapıları için). Sormak istediğim soru bunun keyfi simetrik fonksiyonlara genelleştirilmesidir.

Soru: Varsayalım, bazı altkümeler üzerinde rasgele simetrik fonksiyonlar sınıfını aldık, bu sınıfı kandıracak dağıtımımız var (küçük destekli)?

Bazı küçük gözlemler:

• Tam eşik aldatmak için yeterlidir ( 1 ise ve sadece x tam sahip k indisler arasında olanlar S ). O Herhangi dağıtım ε bu kesin eşikleri -fools edecek n ε her yerinde simetrik fonksiyonlar aptal n bit. (Bunun nedeni, her simetrik fonksiyonun, kombinasyondaki katsayıların 0 veya 1 olduğu gerçek tam eşiklerin gerçek bir doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilmesidir. Beklentinin doğrusallığı bize istediğimizi verir) Benzer bir argüman genel eşikler ( Th S k ( $\text{ETh}^S_k(x)$$x$$k$$S$$\epsilon$$n\epsilon$$n$
  
  1 ise ve sadece x , en azından sahip k indisler arasında olanlar S )$\text{Th}^S_k(x)$$x$$k$$S$

• Nisan'ın LOGSPACE PRG'si aracılığıyla desteğine sahip açık bir dağıtım vardır .$n^{O(\log n)}$

• Keyfi alanlarda iş olmaz -biased. Örneğin eğer s tüm dizi x x olanların sayısı sıfır olmayan mod 3, bu aslında olduğu şekilde ε için çok küçük -biased £ değerinin (bir mesafede Arkadev Chattopadyay sonucu ). Ancak bu açıkça MOD3 işlevini kandırmaz.$\epsilon$$S$$x$$\epsilon$$\epsilon$

İlginç bir alt problem şu olabilir: varsayalım ki simetrik fonksiyonları tüm n indeks üzerinde kandırmak istiyoruz , güzel bir alanımız var mı? Yukarıdaki gözlemlerle, sadece n + 1 fonksiyonlarının bir ailesi olan bitleri üzerinde eşik fonksiyonlarını kandırmamız gerekir . Böylece kişi kaba kuvvetle dağılımı seçebilir. Fakat her k için Th [ n ] k 'ları kandıracak alanların güzel örnekleri var mı?$n$$n+1$$\text{Th}^{[n]}_k$$k$

Evet, yakın zamanda Parikshit Gopalan, Raghu Meka, Omer Reingold ve David Zuckerman tarafından bu soruna genel bir çözüm verilmiştir, bkz . Kombinatoryal Şekiller için Sözde Jeneratörler .

$n$ $\log m$$n$

Çeşitli alt vakalar zaten biliniyordu; örneğin bkz. Modüler Toplamları Aptal Pseudorandom Bit Jeneratörleri , Sınırlı Bağımsızlık Fools Yarım Uzayları ve Polinom Eşik Fonksiyonları için Pseudorandom Jeneratörleri . İlk tutamaklar modulo toplamları$p$. İkinci ve üçüncü tutamak tam olarak bahsettiğiniz eşik testleri, ancak hata her simetrik fonksiyon için bir sonuç elde etmek için mantığınızı uygulamak için yeterince iyi değildir.