Karmaşıklık sınıfı operatörleri için iyi bir referans mı?

Karmaşıklık sınıfı operatörleri hakkında yazarken başvurabileceğim iyi açıklayıcı makaleler veya anketler olup olmadığını merak ediyorum : karmaşıklık sınıflarını nicelleştiriciler gibi şeyler yaparak dönüştüren operatörler.

Operatör örnekleri

Aşağıdakiler, bir cevabın tanımlayabilmesi gereken minimum bir operatör listesi olarak yorumlanabilir. Burada, $\mathbf C$ keyfi bir sonlu alfabe üzerinde rastgele bir dil kümesidir $\Sigma$ .

$\exists \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\\quad \bigl[x \in L \iff \exists c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \bigr] \end{array} \right\}\right.$

$\exists$ operatör görünüşte gösterimi ile de olsa, Wagner [1] tarafından tanıtılan $\bigvee\! \mathbf C$ yerine $\exists \mathbf C$ . Bu şekilde inşa edilmiş bir sınıfın en ünlü örneği $\mathsf{NP} = \exists \mathsf P$ . Bu operatör tamamlayıcı nicelik ile birlikte $\forall$ ki burada, $\exists c$ tanımı ile değiştirildiği $\forall c$ kolayca tüm polinom hiyerarşiyi tanımlayabilen sağlar: Örneğin, $\mathsf{\Sigma_2^P P = \exists \forall P}$ . Bu muhtemelen tanımlanan ilk operatör olabilir.

$\oplus \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n)) \;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\bigl[x \in L \iff \#\{ c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \not\equiv 0 \pmod{2}\bigr]\end{array} \right\}\right.$

operatörü benzer o operatör sınıfı içinde doğrulanabilir olan mevcut sertifikaların sayısını ilgilendiren , ancak bunun yerine certficiates sayısı modulo sayar . ve sınıflarını tanımlamak için kullanılabilir . Benzer operatörleri " diğer modülü için" exist . $\oplus$ $\exists$ $\oplus\mathbf C$ $\mathbf C$ $2$ $\mathsf{\oplus P}$ $\mathsf{\oplus L}$ $\mathsf{Mod_k \cdot}$ $k$

$\mathsf{co}\mathbf C := \Bigl\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\Big|\, \exists A \in \mathbf C \;\forall x \in \Sigma^\ast: \bigl[x \in L \iff x \notin A \bigr] \Bigr\}$

Bu tamamlayıcı operatördür ve , , ve tamamlayıcılar altında kapatıldığı bilinmeyen sınıflardan bir dizi tanımlamak için örtük olarak kullanılır . $\mathsf{ coNP}$ $\mathsf{coC_=P}$ $\mathsf{coMod_kL}$

$\mathsf{BP}\cdot\mathbf C := \left\{ (\Pi_0, \Pi_1) \,\left|\, \begin{array}{l} \Pi_0, \Pi_1 \subseteq \Sigma^\ast \;\mathbin\&\; \exists A \in \mathbf C \; \exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\left[\begin{array}{l} \bigl(x \in \Pi_0 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \leqslant \tfrac{1}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \mathbin\& \\ \bigl(x \in \Pi_1 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \geqslant \tfrac{2}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \end{array}\right]\end{array}\right\}\right.$

- aralık için özür dileriz

operatör görünüşte Schöning tarafından tanıtılan [2], diller (yani o olasılık boşluğu izin vermedi) ve açık sabitleri kullanmadan tanımlamak için de olsa $\mathsf{BP}$ veya $\tfrac{1}{3}$ . Buradaki tanım, YES örneklerive NO örnekleribunun yerine umut problemleri verir. veolduğuna dikkat edin; bu operatör Toda ve Ogiwara [3] tarafından. $\frac{2}{3}$ $\Pi_1$ $\Pi_0$ $\mathsf{BPP = BP\cdot P}$ $\mathsf{AM = BP\cdot NP}$ $\mathsf{P^{\#P} \subseteq BP\cdot\oplus P}$

Uyarılar

Bir standart sınıflardan tanımlarından soyut diğer önemli operatörler (sınıflardan ve ve) (sınıflardan ve ). Literatürün çoğunda (karar sınıflarından fonksiyon problemleri veren) ve $\mathsf{C_= \cdot\mathbf C}$ $\mathsf{C_= P}$ $\mathsf{C_= L}$ $\mathsf C\cdot\mathbf C$ $\mathsf{PP}$ $\mathsf{PL}$ $\mathsf{F\cdot}$ $\#\cdot$ (karar sınıflarından sayım sınıfları verme) de karmaşıklık operatörleri .

Borchert ve Silvestri [4] tarafından her sınıf için bir operatör tanımlamayı teklif eden, ancak literatürde fazla değinilmeyen bir makale vardır; Ayrıca böyle bir genel yaklaşımın ince tanımlayıcı sorunları olabileceğinden endişe ediyorum. Sırayla Köbler, Schöning ve Torán'ın [5] iyi bir sunumuna atıfta bulunuyorlar, ancak şu anda 20 yaşın üstünde ve kaçırıyor gibi görünüyor $\oplus$ .

Soru

Karmaşıklık sınıfı operatörleri için hangi kitap veya makale iyi bir referanstır?

Referanslar

[1]: K. Wagner, Özlü girdi gösterimleri ile kombinatoryal problemlerin karmaşıklığı , Acta Inform. 23 (1986) 325-356.

[2]: U. Schöning, Olasılıksal karmaşıklık sınıfları ve alçaklık , Proc. 2. IEEE Karmaşıklık Teorisinde Yapı Konferansı, 1987, s. 2-8; J. Comput. System Sci., 39 (1989), s. 84-100.

[3]: S. Toda ve M. Ogiwara, Sayım sınıfları en azından polinom-zaman hiyerarşisi , SIAM J. Comput. 21 (1992) 316-328'de açıklanmaktadır.

[4]: B. ve Borchert, R. Silvestri, Dot operatörleri , Teorik Bilgisayar Bilimleri Cilt 262 (2001), 501-523.

[5]: J. Köbler, U. Schöning ve J. Torán, Grafik İzomorfizmi Sorunu: Yapısal Karmaşıklığı, Birkhäuser, Basel (1993).

reference-request complexity-classes

— Niel de Beaudrap
kaynak

Bir karmaşıklık operatörü kavramının dikkate değer bir öncüsü [6]: S. Zachos, Olasılıksal Niceleyiciler, Rakipler ve Karmaşıklık Sınıfları: Bir Genel Bakış, Proc. Karmaşıklık Teorisinde Yapı Konferansı'nın (s.383-400), Berkeley, California, 1986, yukarıda Schöning [2] tarafından

ile bağlantılı olarak alıntılanmıştır .

B P \cdot N P

$\mathsf{BP\cdot NP}$

— Niel de Beaudrap

Yine Zachos tarafından bu da yardımcı olabilir: Kombinasyon Karmaşıklığı: Karmaşıklık Sınıfları Operatörleri

— Alessandro Cosentino

@NieldeBeaudrap Zachos, karmaşıklık sınıfı operatörleri kavramını ilk kez ortaya çıkaran kişidir. Derslerinde bunu açıkça belirttiğini hatırlıyorum. Ezici çoğunluk için de bir tane var,

\exists^{+}

${\exists^+}$

— Tayfun Pay

@TayfunPay: gerçekten de, nicelik

tarif için yararlıdır

(yukarıda benim yorum) [6] 'de tarif edilen iki taraflı formalizmini yerine Schöning tarafından tarif edilen şekilde kullanarak olsa.

\exists^{+}

$\exists^+$

B P \cdot

$\mathsf{BP\cdot}$

— Niel de Beaudrap

@NieldeBeaudrap sınırsız iki taraflı bir hata belirlemek için kullanılabilen başka bir bir de bulunmaktadır

\exists_{1 / 2}

${\exists _{1/2}}$

— Tayfun Pay

Yanıtlar:

İşte operatörlerin birçok tanımı ile bir referans (yine de çok fazla detay yok):

S. Zachos ve A. Pagourtzis, Kombinasyon Karmaşıklığı: Karmaşıklık Sınıfları Operatörleri, 4. Panhelenik Mantık Sempozyumu Bildirileri (PLS 2003), Selanik, 7-10 Temmuz 2003.

Bir kimlik operatörü yanı sıra -, ( yukarıda değerine karşılık gelir ), , (sınırlı tek taraflı hataya karşılık gelir ), , (benzersiz bir kabulle determinizme karşılık gelir ) operatörlerini tanımlar geçişi), (sınırsız iki taraflı hatasına karşılık gelen) ve (ki bir sınıf için formları ). $\mathcal E$ $\mathsf{co}$ $\mathsf{N}$ $\exists$ $\mathsf{BP}$ $\mathsf{R}$ $\oplus$ $\mathsf U$ $\mathsf P$ $\Delta$ $\mathbf C$ $\mathbf C \cap \mathsf{co}\mathbf C$
Şunları gösterir:
1. , bileşime göre bir kimlik unsurudur [Tanım 1]; $\mathcal E$
2. - kendi kendine ters [Tanım 2] olduğu; $\mathsf{co}$
3. İdempotent [Tanım 3] olduğu - kapalı olmasıdır , , , , ve de İdempotent vardır; $\mathsf{N}$ $\mathsf{BP}$ $\mathsf{R}$ $\oplus$ $\mathsf U$ $\mathsf{P}$
4. ve , - [Tanımlar 4 ve 8] ile giderken, , - [Tanım 6]ile sağ kompozisyon altında değişmezdir; $\mathsf{BP}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{co}$ $\oplus$ $\mathsf{co}$
5. Yukarıdaki operatörlerin tümü monotondur (yani için tüm operatörler ile elde edilmiş): ${\mathbf C_1 \subseteq \mathbf C_2} \implies {\mathcal O\cdot\mathbf C_1 \subseteq \mathcal O\cdot\mathbf C_2}$ $\mathcal O$

Boyunca, aynı zamanda, bu operatör gibi geleneksel karmaşıklık sınıfları ile ilgili olduğunu şekillerde bir avuç tarif , , , , vb $\mathsf{\Sigma^p_2 P}$ $\mathsf{ZPP}$ $\mathsf{AM}$ $\mathsf{MA}$

— Alessandro Cosentino
kaynak

Bir karmaşıklık operatörü kavramına giriş niteliğinde bir referans olarak (ve fikrin bazı uygulamalarını gösteren), şimdiye kadar bulduğum en iyi şey

D. Kozen, Hesaplama Teorisi (Springer 2006)

hesaplama karmaşıklığı ve ilgili konulardaki ders notlarından türetilmiştir. 187. sayfada ("Ek Ders G: Toda Teoremi") operatörleri tanımlar

( sınıfında olduğu gibi sınırlı tek taraflı hata içeren rasgele sertifikalar için) $\mathsf R$ $\mathsf{RP}$
(sınırlı iki taraflı hata içeren rasgele sertifikalar için yukarıya bakın) $\mathsf{BP}$
(sınırsız hata içeren rastgele sertifikalar içinyukarıdaki açıklamalardacf ) $\mathsf P$ $\mathsf C$
(tek sayıda sertifika için yukarıya bakın) $\oplus$
(polinom uzunluk sertifikalarının varlığı için,yukarıdakicf ) $\Sigma^{\mathrm{p}}$ $\exists$
( uzunluk sertifikalarınınvarlığı için,yukarıdakicf ) $\Sigma^{\mathrm{log}}$ $O(\log n)$ $\exists$
ve (tamamlayıcı operatörler ve : ilgili açıklamalara bakınız ile elde edilmiş) $\Pi^{\mathrm{p}}$ $\Pi^{\mathrm{log}}$ $\Sigma^{\mathrm{p}}$ $\Sigma^{\mathrm{log}}$ $\forall$
(bir sayma sınıfı tanımlanıyor, yukarıdaki açıklamalar) $\#$

ve sayfa 12'yi her zamanki gibi örtük bir şekilde tanımlar . $\mathsf{co\text-}$

Kozen'in bu operatörlere yaptığı muamele, "olağan" karmaşıklık sınıflarıyla nasıl bağlantılı olduklarını göstermek ve Toda'nın teoremini tanımlamak için yeterlidir, ancak ilişkilerini fazla tartışmaz ve sadece toplam 6 sayfadan bahseder (sonuçta ne olduğu hakkında) çok daha geniş bir konuyu kapsayan bir kitap). Umarım birisi bundan daha iyi bir referans sağlayabilir.

— Niel de Beaudrap
kaynak