Kaç tane 3-SAT örneği karşılanabilir?

28

N değişkenlerinde 3-SAT problemini düşünün. Muhtemel belirgin cümleciklerin sayısı:

C = 2 n \times 2 (n - 1) \times 2 (n - 2) / 3! = 4 n (n - 1) (n - 2) / 3 .

$C = 2n \times 2(n-1) \times 2(n -2) / 3! = 4 n(n-1)(n-2)/3 \text.$

Sorun örnek sayısı mümkün maddeleri kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı aşağıdaki gibidir: . Önemsiz olarak, her , en az bir tane tatmin edici bir örnek ve bir tane tatmin edilemez bir örnek vardır. Herhangi bir n için karşılanabilir örnek sayısını hesaplamak veya en azından tahmin etmek mümkün mü? $I = 2^C$ $n \ge 3$

cc.complexity-theory sat

— Antonio Valerio Miceli-Barone
kaynak

Ayrıca şu soruya bakın: cstheory.stackexchange.com/q/14953

— András Salamon

Sayma formülünü nasıl aldığınızı açıklar mısınız? 3 nerede! gel, vb?

— Yan King Yin

Başka bir yeni soru: eğer toplam konfigürasyon sayısı (yani doğruluk atamaları)

, bu, birçok doğruluk atamasının herhangi bir sorunla ifade edilemeyeceği anlamına gelir. Boolean formüllerinin herhangi bir doğruluk tablosunu ifade edebilecekleri anlamında eksiksiz olduklarını bildiğim kadarıyla sezgisel. Buradaki yakalama nedir?

2^{2^{n}} ≫ 2^{C}

$2^{2^n} \gg 2^C$

— Yan King Yin

27

SAT'daki faz geçişleri üzerine yapılan uzun bir çalışma geçmişi, herhangi bir sabit , bentlerin sayısının, tatmin edilebilirliğe karar veren oranına göre parametreleştirilmiş bir eşik olduğunu göstermiştir. Kabaca, eğer oran 4,2'den az ise, o zaman çok büyük olasılıkla, örnek tatmin edicidir (ve bu nedenle bu birçok maddeye ve değişkene sahip olan örnek sayısının çok büyük bir kısmı tatmin edicidir). Eğer oran 4.2'nin biraz üzerinde ise, ters tutma tutar - örneklerin ezici bir kısmı tatmin edilemez. $n$ $n$

Referanslar burada alıntı yapmak için çok fazla: bir bilgi kaynağı Mezard ve Montanari'nin kitabı . Herhangi biri bu konuyla ilgili anket vb. Kaynaklara sahipse, yorumlarda gönderebilir veya bu cevabı düzenleyebilir (CW yapacağım)

Referanslar:
- Achlioptas anketi
- Gerçekten zor problemlerin olduğu yerler
- Kombinasyonel aramada faz geçişini düzeltmek

— Suresh Venkat
kaynak

Bu çok ilginç. "Ezici olasılık" nedir? Bu% 75 veya% 99.9999 gibi bir şey mi?

— Philip White,

Dürüst olmak gerekirse hatırlamıyorum. oranın değiştirme noktasından uzaklığına göre parametreleştirilir ve bir sigmoid gibi davranır (çok hızlı bir şekilde 1'e gider). Bağlantılı anketler muhtemelen daha fazla ayrıntıya sahip

— Suresh Venkat

1

@Philip, Suresh: Evet, çok hızlı bir "süreksizlik". Grafikleri görürseniz, tatmin olma olasılığı neredeyse 1'den neredeyse 0'a aniden değişir . Eşiğin

bağlı olması ilginçtir . Ayrıca, tüm bu davranışların yalnızca rastgele durumlar için geçerli olduğu ilginçtir.

k

$k$

— Giorgio Camerani

17

Bir yandan, büyük çoğunluğu Suresh'in yorumunda belirtildiği gibi örnekler tatmin edilemez olacak. (Aslında, bu tür bir örneği rastgele eşit bir şekilde örneklerseniz, bazı negatif üçlü, yani önemsiz şekilde tatmin edilemez olan sekiz olumsuzlamanın tümünü birer cümle olarak dahil etme olasılığına sahip olmalısınız.) $2^{|C|}$

Diğer yandan, hepimiz sıfır atama memnun olduklarını sayısına göre karşılanabilir örneklerinin sayısını bağlı düşürebilir: Bu olurdu Her değişken üçlüsü için kullanamayacağımız bir madde var. $2^{(7/8)|C|}$

Kişi daha sonra bunu ile çarparak karşılanabilir durumların sayısını üst sınırlandırabilir . yana , sanırım bu zaten küçük sipariş terimini değiştirdi bile ... $2^n$ $|C|=O(n^3)$

— Magnus Wahlström
kaynak

Öncelikle benim doktora çalışmalarını başladığımda, SAT için hükümlerin sayısı en az olsaydı olduğunu gösterdi

daha sonra bu örnekler edilemezdir idi. Ayrıca kanıtladı maddelerin sayısı aralığı arasında olsaydı

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

3^{n} - 2^{n} - 2^{n - 1}

$3^n-2^n-2^{n-1}$

<

$<$

n u m b e r o f c l a u s e s

$number of clauses$

\leq

$\leq$

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$ o zaman bu örnekler benzersiz bir şekilde tatmin edici ya da tatmin edilemezdi. Başımın üstündeki 3-SAT türevini hatırlamıyorum. Tamam

— Tayfun

4

Bu cevap sadece karşılanabilir vaka sayısındaki büyüme oranı ile ilgilidir.

Bir dizi sette n-bitlik dizeleri sayısı ile çevrili ise seyrek (bazı sabit için ) aksi takdirde yoğundur. Tatmin edilebilirliğin (NP tamamlandı) ve Tatmin edilemezliğin (CoNP tamamlandı) her ikisinin de yoğun kümeler olduğu bilinmektedir. İff seyrek tamamlayıcı kümeleri vardır . $A$ $O(n^k)$ $k$ $NP$ $P=NP$

— Muhammed El Türkistan
kaynak