Pi hesaplamalı karmaşıklığı

let

$L = \{ n : \text{the }n^{th}\text{ binary digit of }\pi\text{ is }1 \}$

( $n$ ikili olarak kodlanmış olduğu düşünülür). O zaman nin hesap karmaşıklığı hakkında ne söyleyebiliriz ? olduğu açıktır . Yanılmıyorsam, inanılmaz "BBP tipi" , quasilinear zaman ve hafızasını kullanarak hesaplamaya gerek kalmadan bit değerini hesaplamak için algoritmalar önceki bitler, .$L$$L\in\mathsf{EXP}$$n^{th}$$\pi$$(\log n)^{O(1)}$$L\in\mathsf{PSPACE}$

Daha da iyisini yapabilir ve (diyelim) 'i sayma hiyerarşisine koyabilir miyiz? Öte yandan, için herhangi bir sertlik sonucu var mı? hardness gibi) çok zayıf bir sonuç bile var mı?$L$$L$$\mathsf{TC}^0$

İlginç bir dil

$L' = \{ \langle x,t\rangle : x\text{ occurs as a substring within the first }t\text{ digits of }\pi \}$

(yine burada, ikili olarak yazılmıştır). Sahibiz$t$

$L' \in \mathsf{NP}^L$

ve dolayısıyla ; Daha iyi bir şey biliniyorsa, çok ilgilenirim.$L' \in \mathsf{PSPACE}$

Tamam, James Lee için sivri beni sahiptir bu 2011 kağıdın benim dilim kanıtlıyor Samir Datta ve Rameshwar Pratap tarafından (rakamlarını kodlayan tt (sayım hiyerarşisinin dördüncü düzeyde olan) P H P P P P P P ; Gazetede eksik olan P P'yi işaret ettiği için SamiD'ye teşekkür ederim, cevabımı tekrar yazdım!). Kağıt de açıkça benim soruyu tartışıyor alt sadece ikili basamak hesaplama giden bir çok zayıf alt kanıtlamak için yönetir rağmen, irrasyonel sayıların ikili basamak hesaplama karmaşıklığına sınırları rasyonel$L$$\pi$$\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$$\mathsf{PP}$sayılar. Bu tam olarak aradığım şeydi.

Update (April 3): An amusing consequence of the digits of $\pi$ being computable in the counting hierarchy is as follows. Suppose that $\pi$ is a normal number (whose binary expansion converges quickly to "effectively random"), and suppose that $\mathsf{P} = \mathsf{PP}$ (with the simulation involving only a small polynomial overhead). Then it would be feasible to program your computer to find, for example, the first occurrence of the complete works of Shakespeare in the binary expansion of $\pi$. If that sounds absurd to you, then maybe it should be taken as additional evidence that $\mathsf{P} \ne \mathsf{PP}$. :-)