Unitarity'yi askıya alırsanız kesin “kuantum” hesaplama ne kadar güçlü?

Kısa Soru.

Üniter olmayan (ancak yine de tersine çevrilebilir) kapılara izin verirsek ve çıkışın kesin olarak doğru cevabı vermesini gerektiriyorsa, "kuantum" devrelerinin hesaplama gücü nedir?

Bu soru, devrelerin üniter kapılardan daha fazlasını kullanmasına izin verdiğinizde sınıfına ne olduğu ile ilgilidir $\mathsf{EQP}$. ( İyi tanımlanmış bir hesaplama modeline sahip olmak istiyorsak, hala kendimizi üzerinde tersinir kapılarla sınırlamak $\mathbb C$zorundayız.)

(Bu soru, üniter durumda bu tür devreler hakkında bilinen sonuçlar hakkında benim tarafımdaki bazı karışıklıklar ışığında bazı revizyonlar yapıldı.)

"Tam" kuantum hesaplama hakkında

Tanımlamam tam olarak her yekpare katsayıları ile hesaplanabilir olan tek tip bir kuantum devre ailesi tarafından çözülebilir sorunların sınıf olarak bu sorunun uğruna giriş dizisinden (makineleri Turing polinom zamanlı-sınırlanmış 1 n ) her bir giriş boyutu n için ve devrenin yönlendirilmiş bir ağ olarak düzenlenmesi de polinom zamanda üretilebilir. "Tam olarak" çözüldüğünde, çıktı bitinin ölçülmesinin sonuç verdiğini kastediyorum | 0 ⟩ HAYIR örnekleri için kesinlik ve birlikte | 1 Y YES örnekleri için kesin olarak.$\mathsf{EQP}$$1^n$$n$$|0\rangle$$|1\rangle$

Uyarılar:

• Hatta üniter kapıları sınırlayan, bu kavramı Bernstein ve Vazirani kuantum Turing makineleri kullanılarak tarif farklıdır. Yukarıdaki tanım, bir devre ailesinin { C n } prensipte sonsuz bir kapı setine sahip olmasına izin verir - her bir ayrı devre C n elbette sadece sınırlı bir altküme kullanır - çünkü kapılar aslında girişlerden hesaplanır. (Bir kuantum Turing makinesi, istediğiniz sonlu kapı setini simüle edebilir, ancak yalnızca sonlu kapı setlerini simüle edebilir, çünkü sadece sınırlı sayıda geçişe sahiptir.)$\mathsf{EQP}$$\{ C_n \}$$C_n$

• Hesaplama Bu model, herhangi bir sorun trivializes yekpare tek bir kapı içerir çünkü, bu sabit kodları herhangi bir sorunun çözümü P (katsayılar bir poli-zaman hesaplaması ile belirlenir sonuçta vardır). Bu nedenle, sorunların belirli zaman veya mekan karmaşıklığı bu tür devreler için ilginç olmayabilir.$\mathsf P$$\mathsf P$

Bu uyarılara, kuantum bilgisayarların pratik uygulamalarının yine de gürültülü olacağı gözlemini ekleyebiliriz. Bu hesaplama modeli, temel olarak teorik nedenlerle ilginçtir , biri uygulanabilir hesaplama yerine üniter dönüşümler oluşturmakla ve tam bir versiyonu olarak ilginçtir . Özellikle, yukarıdaki uyarılara rağmen, P ⊆ E Q P ⊆ B Q P var .$\mathsf{BQP}$$\mathsf{P} \subseteq \mathsf{EQP} \subseteq \mathsf{BQP}$

Tanımlarken nedeni o AYRIK-LOG içine konabilir yüzden yapmak şekilde olan E Q P . [  Mosca + Zalka 2003  ] ile, giriş modülüne bağlı olarak QFT'nin tam sürümlerini üreterek DISCRETE-LOG örneklerini tam olarak çözen bir birimsel devre oluşturmak için bir polinom-zaman algoritması vardır. Daha sonra, DISCRETE-LOG'u yukarıda tanımlandığı gibi devre yapı elemanlarını geçit katsayılarının hesaplandığı şekilde gömerek E Q P'ye koyabileceğimize inanıyorum . (Yani sonuç DISCRETE-LOG ∈ E Q P aslında fiat tarafından tutulur, ancak Mosca + Zalka'nın inşasına dayanır.)$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$$\in \mathsf{EQP}$

Unitarity'yi askıya almak

Let sana kapıları üniter olması kısıtlama askıya eğer olsun hesaplama sınıf olarak ve bunları ters çevrilebilir dönüşümler fazla olmasına olanak verir. Bu sınıfı diğer geleneksel deterministik olmayan C sınıflarına yerleştirebilir miyiz (hatta onu karakterize edebiliriz) ?$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathbf C$

Sormak için nedenlerimden biri: sınırlı hata ile verimli bir şekilde çözülebilen problem sınıfı ise , tek tip "üniter olmayan kuantum" devre aileleri tarafından - YES örneklerinin bir çıktı verdiği | 1 ⟩ (durum vektörü normalize sonra) olasılık en 1/3 olasılık, en az 2/3, ve NO örneği - o [Aaronson 2005] Şekil olduğu B S P G L = P P . Yani: tekdüzeliğin askıya alınması bu durumda sınırsız hataya izin vermekle eşdeğerdir.$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}}$$|1\rangle$$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}} = \mathsf{PP}$

Benzer bir sonuç veya net bir sonuç için elde edildi mi?$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$

Kısa cevap. Üniter dönüşümler gereksiniminin askıya alınması ve her bir işlemin tersinir olmasını gerektirmesi, kesin boşluk tanımlanabilir sınıflara yol açtığı ortaya çıkıyor. Söz konusu sınıflar ve 'yeni' bir alt sınıfı, L P G P P arasında oturup, her ikisi de S P P ve C = P . Bu sınıflar, aşağıda kısaca açıklanan oldukça teknik tanımlara sahiptir; bununla birlikte bu tanımlar artık prensipte üniter olmayan "kuantum benzeri" algoritmalarla değiştirilebilmektedir.$\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{SPP}$$\mathsf{C_=P}$

Sayma sınıfı , GRAFİK İZOMFİZMİ içerir. Ayrıca tüm sınıf U P'yi de içerir , bu yüzden tam üniter kuantum algoritmalarının üniter olmayan sınıflar kadar güçlü olmasını beklemezdik (aksi takdirde N P ⊆ B Q P gösterebiliriz ).$\mathsf{SPP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{NP \subseteq BQP}$

Daha uzun cevap.

• Sorumun, ben yeniden tanımlanması önerdi verimli hesaplanabilir olan kapıları kullanmak tekdüze devre aileleri tarafından çözülebilir yüksek olan, ancak sonlu bir kapı kümesinden çizilmemiştir sorunlar için izin vermek. Ben artık iyi bir fikir böylece eminim yeniden tanımlamak E Q P Böyle devre aileleri incelemek için değerli olduğuna inanıyoruz gerçi bu şekilde. Bu sınıfa bunun yerine U n i t a r y P C diyebiliriz .$\mathsf{EQP}$ $\mathsf{EQP}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

  O göstermek mümkündür yakın zamana kadar gitmekte olan bilinen en iyi olduğunu, e S , P . L W P P sınıfı az ya da çok rasgele bir algoritmanın olduğu problemlere karşılık gelir, burada NO örnekleri tam 0,5 olasılıkla 1 sonuç üretir ve YES örnekleri 1 verimli bir şekilde sonuç verebilecek bir sonuç üretir. ve tam olarak rasyonel formda hesaplanır, bu değer 0.5'den büyük (ancak muhtemelen üstel olarak yakın). L W P teknik tanımı$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C} \subseteq LWPP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{LWPP}$ , belirleyici olmayan Turing makineleri açısından sunulur, ancak artık aydınlatıcı değildir.$\mathsf{LWPP}$

  U n i t a r y P C'nin ters çevrilebilir geçit eşdeğeri olarak tanımlarsak , verimli bir şekilde hesaplanabilir geçit katsayılarına sahip ters çevrilebilir devre aileleri tarafından tam olarak çözülebilen sorunlar kümesidir , o zaman G L p C = L W P P .$\mathsf{GLP}_{\mathbb C}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$$\mathsf{GLP_{\mathbb C} = LWPP}$

• Biz sonlu kapı kümelerine kısıtlamak, üniter devre ailelerin bir alt kümesinde simüle edilebilir olduğunu göstermek mümkündür adlandırabileceğimiz, L P W P P . (Açıklamasını kullanılarak L B P P VAR örnekleri için 1 olan bir çıkış elde etme ihtimali tam olarak nerede yukarıda randomize algoritmalar, bu karşılık gelir m t ( x ) / 2 P ( | x | ) bir polinom için, p , bir tamsayı $\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{LWPP}$$m^{t(x)} / 2^{p(|x|)}$$p$$m$ve bazı verimli bir şekilde hesaplanabilir polinom .)$t$

  Tanımladığımızı Eğer arasında tersinir kapısı eşdeğer olduğu D S P normal tanımlandığı gibidir, gösterdiğimiz ki D S P G L ⊆ L P G P P .$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}} \subseteq LPWPP}$

DISCRETE LOG ile ilgili bir düzeltme.

Yukarıdaki sonuçlar cebirsel katsayıları, girdiden bağımsız (fakat girdi büyüklüğüne bağlı olabilen) bir şekilde temsil etmek için standart tekniklere dayanmaktadır. Orijinal sorunun açıklamasında, [ Mosca + Zalka 2003 ] ' ün DISCRETE LOG'un verimli bir şekilde hesaplanabilir katsayılara sahip bir geçit seti ile tam olarak çözülebildiğini gösterdiğini iddia ettim . Gerçek daha karmaşık görünmektedir. Eğer kişi kesin çözülebilirliği önemsiyorsa, o zaman katsayıların tam olarak temsil edilmesinin önemli olduğunu düşünüyorum: ancak Mosca ve Zalka bunu girdiye bağlı bir şekilde yapmanın bir yolunu sunmuyor. Dolayısıyla, DISCRETE LOG'un aslında veya yeni sınıfta U n i t a r y $\mathsf{EQP}$ .$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

Referans.

• de Beaudrap, Tam sayım ve kuantum kuantum karmaşıklığı üzerine [ arXiv: 1509.07789 ].