Güçlü bir şekilde bağlanmış bir digrafiyi budama

Ağırlıklı kenarları olan güçlü bir şekilde bağlanmış G digrafisi göz önüne alındığında, G'nin minimum derecede güçlü bir şekilde bağlı altgrafının (MSCS) bir parçası olmayan kenarları tanımlamak istiyorum.

Bu kenarları bulmanın bir yöntemi, değiştirilmiş bir Floyd-Warshall algoritmasıdır. Floyd-Warshall algoritmasını kullanarak, hangi kenarların i köşe noktasından j noktasına gitmek için asla en iyi seçenek olmadığını belirleyebiliriz. Bu düğümler bir MSCS'nin parçası olamaz çünkü bunları iki veya daha fazla kenarla değiştirmek daha iyidir.

Floyd-Warshall budama tekniği, kenar ağırlıkları önemli ölçüde değiştiğinde oldukça iyi çalışır, ancak kenar ağırlıkları benzer ancak büyüklükte olduğunda çok zayıftır.

Büyük, benzer kenar ağırlıkları için etkili budama yöntemleri biliyor musunuz? Bu sorun tanımadığım daha yaygın bir soruna eşdeğer mi? Bu tür budama daha önce literatürde incelendi mi?

Kenar ağırlıklarının pozitif tamsayı olduğunu varsayıyoruz. Yönlendirilmiş bir grafiktir verilen G kenar ağırlıklarına sahip bir kenar çağrı E gereksiz ise , e ait subgraphs kapsayan güçlü bağlı herhangi bir minimum ağırlık ait değil G .

P = NP olmadığı sürece, belirli bir yönlendirilmiş grafikte kenar ağırlıkları olduğu sürece her zaman fazlalık bir kenar bulan polinom zaman algoritması olmadığını iddia ediyoruz. Daha kesin:

Teorem . Kenar ağırlıklarına sahip yönlendirilmiş bir grafik G verildiğinde , G'de fazlalık bir kenar bulmak veya G'nin fazlalık bir kenara sahip olmadığını beyan etmek zordur .

Kanıt . Temel gözlem, G'nin benzersiz bir minimum ağırlıkla güçlü bir şekilde bağlı yayılma alt grafiğine sahip olması durumunda , gereksiz alt kenarları tek tek kaldırarak bu alt grafiği hesaplayabilirsiniz. Bu nedenle, benzersizliğin, minimum ağırlıkla güçlü bir şekilde bağlı yayılma altgraf problemini daha kolay hale getirmediğini göstermeye devam etmektedir, ancak bu bir sonraki Lemma tarafından kanıtlanmıştır. QED .

Lemma . Kenar ağırlıkları olan yönlendirilmiş bir grafik G verildiğinde , G'nin benzersiz bir minimum ağırlıkla güçlü bir şekilde bağlanmış bir yayılma alt bölümüne sahip olduğu vaadinin altında bile , G'nin minimum ağırlıkla güçlü bir şekilde bağlanan yayılma altgrafının ağırlığını hesaplamak NP zordur .

Kanıt . Gibi bilirsin , gelecek vadediyor sorun (hatta birim ağırlığı durumu için) NP-zor Hamilton devre problemden azalma gereğidir. Söz ile ilgili soruna söz vermeden sorunu azaltırız.

G , kenar ağırlıkları olan yönlendirilmiş bir grafik olsun . Kenarlarını etiketleyin G ile e ₀ , e ₁ , ..., e _{m -1} , burada m, kenarların sayısıdır G . Let w _ı kenarının verilen ağırlık olarak e _i . Yeni ağırlığı w ′ _i = 2 ^m w _i +2 ^{i olsun} . Daha sonra , yeni ağırlıklara sahip G'nin benzersiz bir minimum ağırlıkla güçlü bir şekilde bağlı yayılma alt grafiğine sahip olduğunu doğrulamak kolaydır . Minimum ağırlığın doğrulanması da kolaydır.W, bir kuvvetle bağlı kapsayan alt grafiği ve G , orijinal ağırlıklarına sahip en az ağırlık hesaplanabilir W 'de G gibi yeni ağırlıkları W = ⌊ W / 2' ^m ⌋. QED .