Endüktif tiplerde katı pozitiflik durumunun ihlalinin tutarsızlığa yol açtığı örnek

Çoğu bağımlı tipli sistemde endüktif tipler için katı bir pozitiflik koşulları vardır. Durum ihlalinin sistemde tutarsızlığa yol açtığı bir örneği bilen var mı?

lo.logic type-theory dependent-type

— Konstantin Solomatov
kaynak

Aslında sıkı pozitifliği gevşetmek ve tutarlı kalmak mümkündür. Örneğin, sadece bir pozitiflik durumuna sahip olmak yeterlidir. Yani, tür tanımlarını kabul edebiliriz.

T ≜ μ α . (α \to 2) \to 2

$T \triangleq \mu\alpha. (\alpha \to 2) \to 2$

burada yinelenen tip değişkenleri çift sayıda okun solunda meydana gelir ve tutarlılığı korur.

Bununla birlikte, bu tür endüktif tipe izin veren teorilerin küme teorik modelleri yoktur - türleri kümeler olarak ve terimleri kümelerin öğeleri olarak yorumlayamazsınız. Bu durumda, $T$ çift güç setine (yani, $T \simeq \mathcal{P}(\mathcal{P}(T))$ ) izomorfik olduğunu söylüyoruz ve bu Cantor teoremini ihlal ediyor .

Bağımlı tür teorileri matematiği resmileştirmek için sıklıkla kullanıldığından, tasarımcıları tutarlı olsalar bile, set-teorik anlambilimle uyumlu olmayan ilkeler eklemekte tereddüt ederler.

EDIT: Bu düzenlemeyi Andrej'in sorusuna yanıt olarak ekliyorum. ( ) Agda'ya eklerseniz tipi tutarlıdır ; onunla hiç problem yok. Sadece katı olmayan pozitifliği hariç tutulan orta ile birleştirirsek bir sorunumuz var. $T$

Neden güvenli olduğu için sezgi (IMO) en iyi parametriklik merceğinden görülür. Sistem F'de, herhangi bir tanımlanabilir işlev , türündeki parametrikliği kullanarak gösterebiliriz gerçekten endüktif bir tiptir. $F$ $\mu F \triangleq \forall \alpha.\; (F\alpha \to \alpha) \to \alpha$

Şimdi, tanımlanabilir bir işlevinin türünde bir işleç olduğunu unutmayın. işlev koşullarını sağlayan (yani, ve ). $F$ $F : \ast \to \ast$

m a p : \forall α, β . (α \to β) \to F α \to F β

$\mathrm{map} : \forall \alpha,\beta.\;(\alpha \to \beta) \to F\;\alpha \to F\;\beta$

m a p i d = i d

$\mathrm{map}\;id = id$

m a p f \circ m a p g = m a p (f \circ g

$\mathrm{map}\;f\;\circ \mathrm{map}\;g = \mathrm{map}\;(f \circ g$

Şimdi, çift güç kümesi için bir tip operatörü tanımlayabiliriz

C = λ α . (α \to 2) \to 2

$C = \lambda \alpha.\; (\alpha \to 2) \to 2$

çünkü sadece olumlu oluşur, biz de bunun için bir harita operatörü tanımlayabilirsiniz: $\alpha$

m a p_{C} = λ f : α \to β, a^{'} : (α \to 2) \to 2, k : β \to 2. a^{'} (λ a : α . k (f a))

$map_C = \lambda f : \alpha \to \beta, a' : (\alpha \to 2) \to 2, k : \beta \to 2.\; a' \;(\lambda a:\alpha.\; k\;(f\;a))$

Yani biliyoruz ki meşru bir endüktif tiptir. $T = \mu C$

— Neel Krishnaswami
kaynak

Tek başına tutarsızlık yaratan bir örnek bulabilir miyiz? Ortada (yeterli) hariç tutulduğumuzu varsayarsak örneğiniz tutarsızdır.

— Andrej Bauer

Başka bir neden de FAN teoremini Agda'ya ekleyebilmemiz ve ardından söz konusu türün doğal sayılar olduğunu (izomorfik) kanıtlayabilmemizdir.

— Andrej Bauer

Düşünüyorum oldukça kötü olmalıdır.

μ α . (α \to 2) \to α

$\mu \alpha . (\alpha \to 2) \to \alpha$

— Andrej Bauer

Ah, soruyu yanlış anladım - nokta, sıkı pozitifliğin yeterli ancak gerekli olmayan bir durum olmasıdır. Örneğiniz (gerçek bir negatif olayla) tutarsız.

— Neel Krishnaswami

Evet, farkettim. Örneğim su tutmuyor.

— Andrej Bauer