Durma probleminden kaynaklanan azalmayla değil kararsızlığın kanıtı

Kararsızlığı kanıtlamanın olağan yolu, durma problemi, birinci dereceden mantıkta geçerlilik, Diophantine denklemlerinin tatmin edilebilirliği vb.

RE-tamamlanmamış özyinelemeli olarak numaralandırılabilir, ancak kararsız sorunlar olduğu bilinmektedir, ancak bunlar yapay konstrüksiyonlardır (yani, sadece bu "yoğunluk" sonucunu göstermek için tanımlanmış setler).

Bir RE-tamam probleminden kaçınmadan kararsızlığı nasıl kanıtlayabiliriz? Diyagonalleştirme?

Kolmogorov karmaşıklığının hesaplanamayacağını doğrudan gösterebiliriz, bkz. Örneğin Sipser, 3. baskı, sorun 6.23.

Tutarlı tahmin sorunu olarak adlandırmak istediğimi düşünün.

$M$

• $M$

• $M$

• $M$

(Tabii ki bu bir dil değil, daha çok bir söz probleminin hesaplanabilir bir analogu gibi.)

Şimdi, Turing'in orijinal kanıtını değiştirerek, SÜREKLİ GUESSING'in kararsız olduğunu göstermek oldukça kolaydır (bunu sizin için bir egzersiz olarak bırakacağım).

$A$$A$

Eğer aradığınız şey, ne a) bilinen bir tam sorundan kaynaklanan bir azalma, ne de b) basit bir köşegenleştirme (ki çeşitli yorumlarınız siz olduğunuzu gösterir), o zaman şanssız olduğunuzu bildiğim kadarıyla kanıt. Bunun farkında olduğum tüm kanıtlar, Aaronson ve Kjos-Hanssen tarafından verilen diğer mükemmel cevaplar da dahil olmak üzere indirgeme ile değil, doğrudan çaprazlama ile devam ediyor.

Ve tüm bu köşegenleştirmeler aslında aynı kanıttır . Bazıları kanıt üzerinde biraz daha güçlü / zayıf ifadeler veren küçük varyantlardır, ancak kanıtların kendileri genellikle çok küçük varyasyonlardır. (Ve tüm bu kanıtlar aslında Cantor'un kardinaliteler hakkındaki orijinal kanıtı ile aynı, ki bu da Russell'ın paradoksunun tüm teorem versiyonları olan Godel ve Chaitin eksikliğinin kanıtlarıyla aynı ... O kadar ki nokta Birisi ters matematik gibi bir teoremi resmileştirip edemeyeceğini merak ettim.

Bununla birlikte, örneğin, durma sorununun kararsızlığını kanıtlamak için kullanılan köşegenleştirmeden gerçekten, gerçekten, muhtemelen farklı olan köşegenleştirmeler olan diğer ifadelerin - tipik olarak farklı bir lezzetin - kanıtlarının bulunduğunu belirtmek gerekir.