3SUM problemi için iki Algoritmanın Tamsayılar üzerinden karşılaştırılması

17

Ilya Baran, Erik D. Demaine, Mihai Patrascu'nun "3SUM için Subakadratik Algoritmalar" adlı makalesi,

3sum sorun: bir listesi verilmiştir $L$ arasında $n$ varsa tamsayı $x,y,z \in L$ , öyle ki $x+y=z.$

$w-$ $O(n^2/ \max\{w \log w, \log n (\log \log n)^2 \})$ $AC0$ $O(n^2/ w^2 \log w)$ $O(n^2/(MB))$ $O(n^2/ MB \log M )$

Son zamanlarda, Grondlund ve Pettie'nin "Üçlü, Dejenere ve Aşk Üçgenleri" adlı bir makalesi, "3SUM'un karar ağacı karmaşıklığının olduğunu ve zamanında çalışan rastgele bir 3SUM algoritması ve içinde çalışan deterministik bir algoritma saat. $O(n^{3/2}\sqrt{\log n})$ $O(n^2(\log \log n)^2/\log n)$ $O(n^2(\log \log n)^{5/3}/(\log n)^{2/3})$

Bu sonuçlar, 3SUM varsayımının en güçlü versiyonunu, yani karar ağacı (ve algoritmik) karmaşıklığının olduğunu çürütüyor . " $Ω(n^2)$

Bu ikinci kağıdı bakınız burada .

Açıkçası, her ikisi de önemli makalelerdir. Bu alanda uzman olmamak, sorum, farklı karmaşıklık modelleri göz önüne alındığında, her ikisinin de etkisinin ve öneminin nasıl karşılaştırılacağı ile ilgilidir. Bu sorunla ilgili diğer yorumlarınız da memnuniyetle karşılanmaktadır. Örneğin, ilk makale zaten dışlamış mıydı? $\Omega(n^2)$

cc.complexity-theory ds.algorithms

— kodlu
kaynak

14

İşte yeni sonuçlara bakış açısı kazandırmaya yardımcı olan bazı noktalar.

Karar ağacı karmaşıklığı sonucu büyüktür. Bir saldırı hattı (ve Jeff Erickson bu konuda daha fazla şey söyleyebilir), sorunun karar karmaşıklığına bakarak (yani sorunu çözmek için gereken karşılaştırmaların sayısı) bakarak 3SUM'u sınırlamak ve denemekti. Umut, yakın bir şeyin elde edilebilir olmasıydı. $\Omega(n^2)$

Bu sonuç, kararlı bir şekilde o argüman çöpler bağlandı. Bunun sorunun gerçek karmaşıklığı hakkında hiçbir şey söylemediğini unutmayın. Bir karar ağacının alt sınırının olmayacağını söylüyor. Ve bu (diğer kanıtlarla birlikte) atmalarını 3sum yakın "ahlaken" olduğu temel öncül şüphe . $O(n^{3/2})$ $n^2$

Algoritmik sonuç koşulsuz olarak subakratiktir (yani kelimeye paralel bir modelde değildir). Bu büyük bir mesele, her ne kadar bazı sabit için olmadığı gerçeğini sorgulayabiliyor olsa da . $O(n^{2-\epsilon})$ $\epsilon$

@Domotorp'un dediği gibi, bu bir dizi yeni sonucun başlangıcı olabilir. Söylemesi gerçekten zor. Mevcut üst sınır, karar ağacı algoritmasını Timothy Chan'dan bazı sihirli numaralarla "yeniden uygulamaktan" geliyor. Bunun daha ileriye itilebileceği düşünülebilir.

— Suresh Venkat
kaynak

4

Jeff Erickson bu konuda daha fazla şey söyleyebilir - Söyleyecek çok şey yok, gerçekten. Doğal bir karar ağacı modeli derinliği gerektiren kanıtladı

; Yeni bir kağıt gösterir çok slighty güçlü bir model ile, derinliği,

yeterlidir. Geçmişe bakıldığında, Fredman ve Chan'ın X + Y ve en kısa yolları sıralama konusundaki sonuçları ışığında bu sonuç şaşırtıcı olmamalıdır. Ancak doğal bir saldırı hattını tamamen kapatıyor. Seth'e söylediğim gibi, aynı anda inanılmaz derecede rahatladım ve inanılmaz derecede kıskancım.

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

O (n^{3 / 2})

$O(n^{3/2})$

— Jeffε

14

$w$ $w$ $\Omega(n^2)$

$n$

— domotorp
kaynak

Her iki cevaptan da memnunum, ancak sadece bir tanesini kabul edebildim, bu yüzden daha ayrıntılı olanı kabul ettim.

— kodlu