Çözümün benzersizliğinin bulunmasını kolaylaştırdığı örnekler

Karmaşıklık sınıfı , en fazla bir tane hesaplama yoluna sahip olan polinom zaman belirsiz bir makinesi tarafından kararlaştırılabilecek olan oluşur . Yani, eğer varsa çözüm bu anlamda benzersizdir . Her şey pek olası düşünülmektedir -Sorunları içindedir çünkü tarafından, Yiğit-Vazirani Teoremi bu çöküş anlamına gelecektir .$\mathsf{UP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$

Öte yandan, hiçbir olduğu bilinmemektedir; bu, benzersiz çözüm gereksiniminin bir şekilde onları daha da kolaylaştırdığını göstermektedir.$\mathsf{UP}$$\mathsf{NP}$

Benzersiz varsayımın daha hızlı bir algoritmaya neden olduğu örnekler arıyorum.

Örneğin, grafik problemlerine baktığımızda, grafiğin benzersiz bir maksimum k Sahnesine sahip olduğunu biliyorsak, bir grafikte maksimum bir klik daha hızlı bulunabilir (muhtemelen üstel bir zamanda). Eşsiz renklendirme, benzersiz Hamilton yolu, benzersiz minimum baskınlık vb.$k$

Genel olarak, herhangi bir probleminin benzersiz bir çözüm versiyonunu tanımlayabiliriz , onları . Bunlardan herhangi biri için özgünlük varsayımını eklemenin daha hızlı bir algoritmaya yol açtığı biliniyor mu? (Hala üstel kalmasına izin vermek.)$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$

3-SAT böyle bir sorun olabilir. Şu anda Unique 3-SAT için en iyi üst sınır genel 3-SAT'dan katlanarak daha hızlı. (Üs azalma küçük olmasına rağmen hızlanma, üstel.) Özel durum için kayıt taşıyıcı olup , bu kağıt timon Hertli ile.

Hertli'nin algoritması , hala için en hızlı olduğuna inandığım -SAT için Paturi, Pudlák, Saks ve Zane için önemli PPSZ algoritması üzerine (ayrıca bu ansiklopedi makalesine bakınız ). Orijinal analiz benzersiz için daha iyi sınırları gösteren genel için daha -SAT -SAT zaman ; daha sonra, ancak, Hertli farklı bir makalede , benzersiz olduğunu varsaymadan (biraz ince ayarlanmış) PPSZ algoritması için aynı sınırları elde edebileceğinizi gösterdi . Yani, belki özgünlük yardımcı olur ve kesinlikle bazı algoritmaların analizini basitleştirebilir, ancak için benzersizliğin rolünü anlıyoruz.k ≥ 5 k k k = 3 , 4 $k$$k \geq 5$$k$$k$$k = 3, 4$$k$-SAT hala büyüyor.

Unique -SAT'in genel -SAT'tan çok daha kolay olmadığına dair kanıtlar var . Güçlü Üstel saat Hipotez (Seth) orada hiçbir iddia olacak şekilde -Değişken -SAT içinde çözülebilir olduğu her sabit zaman . Bu bir gösterildi kağıt seth dayanırsa, o zaman aynı deyimi Benzersiz için de geçerlidir, Calabro, Impagliazzo, Kabanets ve Paturi ait -SAT. Ayrıca, eğer genel -SAT üssel zaman gerektiriyorsa, yani bazı öyle ki genelk δ < 1 n k O ∗ ( 2 δ n ) k ≥ 3 k k k ≥ 3 , ϵ > 0 k O ∗ ( 2 ϵ n$k$$k$$\delta < 1$$n$$k$$O^*(2^{\delta n})$$k \geq 3$$k$$k$$k \geq 3, \epsilon > 0$$k$-SAT, zamanında çözülemez , sonra Eşsiz 3-SAT için de aynısı geçerli olmalıdır. En genel ifade için makaleye bakın. $O^*(2^{\epsilon n})$

(Not: notasyonu giriş uzunluğundaki polinom faktörlerini baskılar.)$O^*$

En kısa 2-Vertex yönlendirilmemiş grafiklerdeki ayrık yol problemi yakın zamanda A. Bjorklund ve T. Husfeldt tarafından çözülmüştür (ICALP14). Ancak deterministik çözüm, benzersiz bir çözümün varlığı için geçerlidir. Birden fazla çözüm olması durumunda, sorunun RP'ye ait olduğunu gösterdiler . Bahsedilen makalenin yazarları gibi, sorunun genel senaryoda P de olup olmadığı bilinmiyor .

Karmaşıklık teorisi ve algoritmaların analizi dışında, tek bir çözüm olabileceği varsayımı, Sudoku bulmacalarındaki çözümü bulmak için kullanılan standart kuralların bazılarının temelini oluşturur. Bu kurallar genellikle bulmacanın bazı bölümlerinin bulmacanın geri kalanıyla etkileşime girmeyen iki veya daha fazla çözüme sahip olabileceği yolları aramayı içerir. Bu, asıl çözümde gerçekleşemez, bu nedenle buna neden olan bir örüntü bulunursa, çözücünün gerçek çözümün nasıl görünebileceği konusundaki kısıtlamaları çıkarmasına izin verecek şekilde kırılmalıdır. Eşsizliğe dayalı bazı kesinti kuralları örnekleri için http://www.brainbashers.com/sudokuuniquerectangles.asp adresine bakın .

Björklund tarafından başka bir sonuçtan bahseden, bir grafikte en fazla bir Hamiltonian döngüsü bulunduğunu garanti ederseniz, grafiğinin genel olarak sizden daha hızlı olup olmadığına karar verebilirsiniz .$G$

Birliktelik varsayımı, Ham sayısının paritesi anlamına gelir. yollar, grafiğin Hamiltoniyen olup olmadığına karar vermekle aynıdır.

Björklund yöntemi deterministik olarak Hamilton çevrim sayısı parite hesaplamaktadır ise en iyi bilinen rastgele algoritması yönsüz Hamiltonyenlik için çalışır için (ve Yönlendirilmiş Hamiltonyenlik için en belirleyici bir algoritma bildiğim kadarıyla) hala Bellman, Held ve Karp'ın 50 yıllık dinamik programlama algoritması.O * ( 1.657 N ) O ( n, 2 2 , n$O(1.619^n)$$O^*(1.657^n)$$O(n^22^n)$