Mu

11

Tarafından Göstermek içinde en az üzerinden derecesi ve ile içinde derece az. $\delta^+(G)$ $G$ $\delta^-(G)$

Bir de ilgili soru , I Ghouila-Houri uzantısı belirttiğimiz Hamilton döngülere Dirac teoremi göstermektedir, eğer sonra G Hamiltonyan'dır. $\delta^+(G),\delta^-(G) \geq \frac{n}{2}$

Yorumunda, Saeed grafiğin güçlü bir şekilde bağlanmasını gerektirmesi dışında daha güçlü görünen farklı bir uzantı hakkında yorum yaptı.

Güçlü bağlantının, ilk yayınlandıktan yaklaşık 30 yıl sonra Ghouila-Houri teoremi için gereksiz olduğu kanıtlandı ve aynı şeyin Saeed'in sunduğu uzantı için de geçerli olup olmadığını merak ediyordum.

Soru şu:

Kim (kutu kimse referans bulmak) kanıtladı eder verilen, Hamilton olan güçlü bağlanır? $\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$ $G$ $G$

Güçlü bağlantı burada da gereksiz mi, yani güçlü bağlantı anlamına mı geliyor? $\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$

(Grafik açıkça Hamiltonian olması için güçlü bir şekilde bağlı olmak zorunda olsa da, ben bu koşulun derece koşulları tarafından ima edilip edilmediğini soruyorum).

reference-request graph-theory

— RB
kaynak

8

Önerdiğim varyasyon aslında Woodal teoreminin biraz farklı varyasyonuydu . Belki Bang-Jensen ve Gutin'in kitabında görmüştüm . Yorum yazdığım sırada kitabın doğruluğunu kontrol etmedim. Bu yüzden yazdığımdan emin olmak için grafiğin güçlü bir şekilde bağlı olması gerekir. BTW, bu ifadeyi taşıyor çünkü Woodal teoreminin özel bir durumu olarak yorumlanabilir. Ayrıca, güçlü bağlantı gereksinimi de gerekmez.

Bang-Jensen ve Gutin'in kitabından 6.4.6 teoremi :

, düzeninin bir digrafisi olsun . Eğer köşelerin çiftleri için ve ile ilgili bir yay olduğu gibi için , o zaman Hamilton olup. $D$ $n\ge 2$ $\delta^+(x)+\delta^-(y) \ge n$ $x$ $y$ $x$ $y$ $D$

Bu, sorunuzun ikinci kısmının cevabının da Evet olduğu anlamına gelir.

$n$ $n$ $k<n$ $a,b,c$ $e,d$ $k_2$ $e$ $d$ $d$ $b$ $b$ $e$ $e$ $c$ $e,d$ $d$ $b$ $2$ $4=5-1 = n-1$ $n$

resim açıklamasını buraya girin

P.S1: Yukarıda bahsedilen teoremin basit digraflar için geçerli olduğundan emin olun. yani ilmekli veya paralel kenarsız digraflar.

P.S2: Şu anda iyi bir Tex aracım yok. Yani görüntü iyi değil.

— Saeed
kaynak

3

Sadece iki yazar olduğunda, bunlara "Birinci ve ark." Yerine "Birinci ve İkinci" olarak atıfta bulunmak daha iyidir, bu yüzden hak ettikleri krediyi alırlar. Ve diğ. ("ve diğerleri") yalnızca yazar listesinin tamamı, çoğaltılmasının garip olacağı kadar uzun olduğunda kullanılmalıdır.

— David Richerby

7

İkinci sorunuzun cevabı olumludur:

$\delta^+(G)+\delta^-(G) \ge n$ $G$

$G$ $\delta^+(G)+\delta^-(G) < n$ $G$ $S$ $S$ $T$ $T$ $S$ $S$ $\delta^+(G) \le \delta^+(S) \le |S|-1$ $\delta^-(G) \le |T|-1$

δ^{+} (G) + δ^{-} (G) \leq | S | + | T | - 2 \leq n - 2 .

$\delta^+(G)+\delta^-(G) \le |S|+|T|-2 \le n-2 \ .$

— mobius hamur tatlısı
kaynak

1

\geq n - 1

$\ge n-1$

@GeoffreyIrving Evet, öyle görünüyor.

— mobius günberi

Bu n-1'in Hamiltonicity için yeterli olup olmadığını merak ediyor.

— RB

@RB, Hayır, yeterli değil.

— Saeed

1

δ^{-} + δ^{+} = n - 1

$\delta^-+\delta^+ = n-1$

4

Bu, daha güçlü bir iddia göstermek için @Mobius yanıtının bir uzantısıdır:

$\delta^+ + \delta^- \geq n-1$ $\forall u,v\in V, d(u,v)\leq 2$

Kanıt:

$(u,v)\in E$

$A=\{x\in V: (u,x)\in E\}, B=\{y\in V: (y,v)\in E\}$

$(u,v)\not \in E$ $A \cup B \subseteq V\setminus \{u,v\}$ $|A\cup B|\leq n-2$

n - 1 \leq δ^{+} + δ^{-} \leq | A | + | B | = | A \cup B | + | A \cap B | \leq n - 2 + | A \cap B |

$n-1 \leq \delta^+ + \delta^- \leq |A|+|B| = |A\cup B| + |A\cap B| \leq n-2 + |A\cap B|$

$|A\cap B| \geq 1$ $\exists w\in V:(u,w),(w,v)\in E$ $d(u,v)=2$

$\blacksquare$

— RB
kaynak