verildiğinde

İşte cuntaları öğrenmeye benzer bir lezzet ile ilgili bir sorun:

Girdi: Bir üyelik kâhin, yani verilen bir kâhin , döndüren bir işlevidir . $f: \{0,1\}^n \rightarrow \{-1,1\}$ $x$ $f(x)$

Hedef: Bir subcube bulun ait hacmi ile öyle ki . Böyle bir alt küpün var olduğunu varsayıyoruz. $S$ $\{0,1\}^n$ $|S|=2^{n-k}$ $\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.1$

zamanında çalışan ve bir alt küp seçmek ve her birindeki ortalamayı örneklemek için tüm yollarını deneyerek olasılığı ile doğru bir yanıt döndüren bir algoritma almak kolaydır . $n^{O(k)}$ $\ge 0.99$ $(2n)^k$

Ben zaman içinde çalışan bir algoritma bulmak ilginç . Alternatif olarak, bir alt sınır harika olur. Sorun, cuntaları öğrenmeye benzer bir tada sahiptir, ancak hesaplama zorlukları arasında gerçek bir bağlantı görmüyorum. $poly(n,2^k)$

Güncelleme: @Thomas, bu sorunun örnek karmaşıklığının olduğunu kanıtlamaktadır . İlginç olan, yine de, sorunun hesaplama karmaşıklığıdır. $poly(2^k,\log n)$

Düzenleme: basitlik için ile bir alt küp olduğunu varsayabilirsiniz. (boşluğa dikkat edin: ortalama olan bir alt küp arıyoruz .) Boşluk ile ilgili soruna herhangi bir çözümün de boşluğu olmadan sorunu çözeceğinden eminim. $\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.2$ $\ge 0.1$

— mobius hamur tatlısı
kaynak

İşte örnek karmaşıklığına daha iyi bir bağ. (Hesaplama karmaşıklığı hala olmasına rağmen ) $n^k$

Teorem. Varsayalım bir subcube vardır büyüklüğü şekilde . İle bir subcube tespit, yüksek olasılıkla biz örnekleri, büyüklüğü şekilde . $S$ $2^{n-k}$ $|\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]| \geq 0.12$ $O(2^k \cdot k \cdot \log n)$ $S'$ $2^{n-k}$ $|\mathbb{E}_{x \in S'}[f(x)]| \geq 0.1$

Parametrelerdeki küçük kayıplara dikkat edin ( , garantiye karşı optimumdur $0.12$ $0.1$ ).

Kanıt. Seçim noktaları eşit olarak rasgele ve sorgu ile her biri . $m$ $P \subset \{0,1\}^n$ $f$ $x \in P$

boyutunda bir küpü sabitleyin . Bizde . Bir Chernoff bağlı tarafından Ayrıca $S$ $2^{n-k}$ $\mathbb{E}[|S \cap P|]=m 2^{-k}$

P [| S \cap P | < m 2^{- k - 1}] \leq 2^{- Ω (m 2^{- k})} .

$\mathbb{P}[|S \cap P| < m 2^{-k-1}] \leq 2^{-\Omega(m 2^{-k})}.$

P [| E_{x \in S \cap P} [f (x)] - E_{x \in S} [f (x)] | > ε] \leq 2^{- Ω (| S \cap P | ε^{2})} .

$\mathbb{P}[| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(|S \cap P| \varepsilon^2)}.$

${n \choose k}2^k$ $S$

P [\forall S | E_{x \in S \cap P} [f (x)] - E_{x \in S} [f (x)] | \leq ε] \geq 1 - (\binom{n}{k}) 2^{k} 2^{- Ω (m 2^{- k} ε^{2})} .

$\mathbb{P}[\forall S ~~ | \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | \leq \varepsilon] \geq 1 - {n \choose k} 2^k 2^{-\Omega(m 2^{-k} \varepsilon^2)}.$

m = O (2^{k} / ε^{2} \cdot k \log n)

$m = O(2^k/\varepsilon^2 \cdot k \log n)$

0.99

$0.99$

E_{x \in S} [f (x)]

$\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]$

ε

$\varepsilon$

S

$S$

2^{n - k}

$2^{n-k}$ .

$\varepsilon=0.01$ $| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)]|$

— Thomas
kaynak

C \cdot 2^{k}

$C \cdot 2^k$

C

$C$

C

$C$

n^{k}

$n^k$

Bunu görmenin bir başka yolu, tanımladığınız aralık alanının paramparça boyutunu ve dolayısıyla VC boyutunu sınırlaması ve daha sonra eps-yaklaşım teoremini buna atmanızdır.

— Suresh Venkat