Düzensizliğin mantıksız gücü

Görüş sağduyu açısından, olmayan determinizm ekleyerek inanmak kolaydır $\mathsf{P}$ anlamlı yani gücünü, uzanır, $\mathsf{NP}$ çok daha büyüktür $\mathsf{P}$ . Sonuçta determinizm, şüphesiz çok güçlü görünen üstel paralelliğe izin veriyor.

Diğer yandan, sadece olmayan homojen ekleme durumunda $\mathsf{P}$ elde edilmesi, $\mathsf{P}/poly$ (biz oluşabilir olmayan yinelemeli dilleri dahil varsayarak, daha sonra sezgi daha az açıktır $\mathsf{P}/poly$ ). Farklı giriş uzunlukları için sadece farklı polinom zaman algoritmalarına izin vermenin (özyinelemeli alandan ayrılmamasının) determinizmde üssel paralellikten daha az güçlü bir uzantı olduğu beklenebilir.

Ancak ilginç bir şekilde, eğer bu sınıfları sınıfıyla karşılaştırırsak , aşağıdaki karşı-sezgisel durumu görürüz. 'in şaşırtıcı bir şekilde düzgün bir şekilde içerdiğini biliyoruz . (Sonuçta, iki kat üstel paralelliğe izin verir .) Öte yandan, şu anda .$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{NP}$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{NEXP}\subseteq \mathsf{P}/poly$

Bu nedenle, bu anlamda, polinom zamanına eklendiğinde, tek biçimlilik değil, muhtemelen onu determinizmden daha güçlü, potansiyel olarak daha güçlü kılar. İki katlı üssel paralellik simüle etmek için bile gidebilir ! Bunun böyle olmadığına inanmamıza rağmen, şu anda bunun göz ardı edilemeyeceği gerçeği, yine de karmaşıklık teorisyenlerinin burada "güçlü güçler" ile mücadele ettiğini gösteriyor.

Zekice bir meslekten olmayan birliğe, bu tekdüzümsüzlüğün bu “mantıksız gücünün” ardında ne olduğunu nasıl açıklarsınız?

Bir cevap, bunun bir uzmana açıklamaya çalıştığım karmaşıklık teorisi ile ilgili ilk şey olmadığı ! Düzgünsüzlük fikrini ve bunun kavramçılıktan ne kadar farklı olduğunu anlamak için, birçok insanın almak istediğinden daha karmaşıklık sınıflarının tanımları ile yabancı otlarda daha ileri düzeyde olmanız gerekir.

Bunu söylemek gerekirse, P / poly'i lisans öğrencilerine açıklarken faydalı bulduğum bir bakış açısı, tek biçimli olmamanın gerçekten , daha büyük ve daha büyük giriş uzunluklarına giderken, daha iyi ve daha iyi algoritmaların sonsuz bir dizisine sahip olabileceğiniz anlamına gelir . Örneğin pratikte, naif matris çarpım algoritmasının 100x100 boyutuna kadar matrisler için en iyi şekilde çalıştığını biliyoruz ve daha sonra bir noktada Strassen çarpımı daha iyi hale geliyor ve daha yeni algoritmalar sadece astronomik olarak büyük matrisler için daha iyi hale geliyor pratikte asla ortaya çıkmaz. Peki, üzerinde çalıştığınız her n aralığı için en iyi algoritmayı sıfırlama büyülü yeteneğine sahipseniz?

Elbette, bu garip bir yetenek olacaktı ve her şey düşünüldü, muhtemelen polinom zamanında NP-komple problemleri çözme yeteneği kadar kullanışlı değildi. Ama kesinlikle konuşursak, bu eşsiz bir yetenek olurdu : P = NP olsa bile otomatik olarak alacağınız bir şey değil. Aslında, bu yeteneğin çözmenize izin vereceği hesaplanmamış sorunların (örneğin, giriş olarak 0 ⁿ verildiğinde , ^n'inci Turing makinesi durur??) Koşullu örnekleri bile oluşturabilirsiniz . Yani, bu tek biçimliliğin gücü.

Anlamak için gelin bu tuhaf gücü dikkate arasında, muhtemelen görevle ilgili bir şey devresi alt sınır kanıtlamak için söylemek gerekir ve bizim alt sınır tekniklerin birçoğu açısından, 's, gerçeği ediyorum tekdüzelik garip gibi görünüyor neredeyse hiç ihtiyacımız olmayan ekstra koşul.

İşte, son zamanlarda duyduğum, düzgün olmayan hesaplama modellerinin şüphelendiğimizden daha güçlü olması gerektiği iddiasını savunurken duyduğum "pürüzsüzlük" argümanı. Bir yandan, zaman hiyerarşisi teoreminden , örneğin O ( 2 n ) zamanında hesaplanamayan zamanında hesaplanabilir fonksiyonların olduğunu biliyoruz . Öte yandan, Lupanov teoremine göre, n girdiler üzerindeki herhangi bir boolean işlevi, bir büyüklük devresi ile hesaplanabilir ( 1 + o ( 1 ) ) 2 n /$O(2^{2n})$$O(2^{n})$$n$$(1+o(1))2^n/n$. O olan fazla güç vermez bütünlük bozulmasını İstem Yani gibi davranır gerekir D , T I M E ( f ( n ) O ( 1 ) ) , o zaman bu talebi birden durmalıdır zaman tutma f ( n ) haline 2 O ( n ) . Fakat bu davranış --- iki karmaşıklık ölçüsü birden bire hepsi güçlü hale gelinceye kadar el ele gider - keyfi ve biraz doğal görünmüyor.$\mathsf{SIZE}(f(n))$$\mathsf{DTIME}(f(n)^{O(1)})$$f(n)$$2^{O(n)}$

Devreleri yeterince güçlü ise, diğer taraftan, bu neden nicelik birden durdurma hesaplama daha fazla güç veren olur: ardından Karp-Lipton polinom hiyerarşi da tek olacaktır ikinci seviyesine çöker ? Bunun bizi nereye bıraktığından emin değilim.$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$

Yaklaşık biriyle konuşmak varsayalım ve N P vasıtasıyla kişi mevcut olduğu ve P v N P söz ve doğrulama çözme ikilik.$\mathbb{P/poly}$$\mathbb{NP}$$\mathbb{P}$$\mathbb{NP}$

Sonra, bunu anlatmaya çalışacağını söyledi her farklı uzunluk için, TM tamamen güvenebileceğim tavsiye verilir çünkü o kadar güçlüdür. Sonra, giriş uzunluğu başına 1 kelime (yani, unary) olan zor (TM-hesaplanabilir olmayan) diller geliştirebileceğimizi, bu yüzden P / poly! Ama belki bir polinom uzun danışma tüm dilleri çözmek için yeterli değildir N P her farklı giriş için farklı bir ipucu izin verilir orada beri.$\mathbb{P/poly}$$\mathbb{NP}$

Öte yandan, cevabı doğrulaması gerektiğini, tam olarak güvenmemesi gerektiğini hatırlatırdım . Bu nedenle, her giriş uzunluğu için aynı tavsiye kullanamayız, bu doğrulanamayabilir!$\mathbb{NP}$

Son olarak, karmaşıklık kuramlannda dil olduğuna inanıyoruz söz olur olamaz dolayısıyla bazı giriş uzunluğu daha polinom birçok tavsiyeleri daha gerektirir ve P / p O l y .$\mathbb{NP}$$\mathbb{P/poly}$

Konuyu ilk kez öğretirken de yaygın olduğunu düşündüğüm iyi bir anlayış vermenin kritik bir noktası, öneri ve "ipucu" nun (örn. Sertifika) farklı şeyleri ve nasıl farklı olduklarını açıkça ortaya koymaktır.

Benim için, tek tip olmama gücünün en net örneği, Halting Sorununun uygun şekilde doldurulmuş bir versiyonunun halihazırda P / 1’de olduğudur. Tek bir öneri daha sonra bu dile, öneri bitini veren basit bir TM ile karar vermek için yeterlidir.

Tabii ki, kararsız bir dilin üstel bir miktarda doldurulması, P / poly'de "ahlaki" olmadığı anlamına gelir. Fakat bu, tek biçimli olmayan birliğe izin verirken dikkatli olunması gerektiğini gösteriyor.

Buradaki asıl meselenin, tek biçimliliğin makul olmayan gücü değil, makul olmayan ağır ispat yükü olduğu kanısındayım. Chazisop ve András Salamon'un cevapları çoktan strese girdiğinden, kanıtlanamayan diller çok kısıtlı düzgün olmayan dillerde bile hesaplanabilir hale geldi, çünkü ispat yükü tamamen feragat edildi.

$2^n$$n$$n$$n$$n$ .$2^n\exp(O(n))=\exp(n\log(2)+O(n))=\exp(O(n))$

$n$$\mathsf{NEXP}$

$\mathsf{P/poly'}\subseteq \mathsf{NP}$$n$$\mathsf{P/poly'}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}\subseteq\mathsf{P/poly'}$) hala doğrudur, ancak bu ifade gerçek Karp-Lipton teoreminden daha az ilginçtir.