Hangi grafik aileler için Genelleştirilmiş Coğrafya

@ Marzio'nun belirttiği gibi, aşağıdaki oyun Genelleştirilmiş Coğrafya olarak bilinir .

Bir grafik ve bir başlangıç ​​noktası v ∈ V verildiğinde, oyun aşağıdaki gibi tanımlanır:$G=(V,E)$$v \in V$

Her turda (dönüşümlü iki oyuncu), bir oyuncu seçer ve sonra aşağıdakiler olur:$u\in N(v)$

1. yanı sıra tüm kenarları G'den çıkarılır.$v$$G$
2. (yani v , u noktası olarak güncellenir).$u\to v$$v$$u$

"Çıkmaz sokak" (yani çıkıntı kenarı olmayan bir tepe noktası) seçmek zorunda kalan oyuncu kaybeder.

Hangi grafik ailelerinde polinom zamanında en uygun strateji hesaplanabilir?

Örneğin, eğer bir DAG ise, oyuncular için en uygun stratejiyi kolayca hesaplayabileceğimizi görmek kolaydır .$G$

Genelleştirilmiş Coğrafya (GG), düzlemsel yönlendirilmiş iki taraflı grafiklerde bile PSPACE-tamamlıdır, ancak şu şekilde bildirilmiştir:

Hans L. Bodlaender, Yol oluşturma oyunlarının karmaşıklığı , Teorik Bilgisayar Bilimi, Cilt 110, Sayı 1, 15 Mart 1993, Sayfa 215-245

GG (ve diğer bazı PSPACE-complete varyantları), sınırlandırılmış üçlü genişlik grafiklerinde doğrusal zamanla çözülebilirdir.

YAN NOT: Son zamanlarda PSPACE-tamamlanmış olduğu kanıtlanan Genelleştirilmiş Coğrafya varyantlarından biri Tron'dur ( Işık Çevrimleri oyunu): yönlendirilmemiş bir grafik verildiğinde, iki oyuncu iki farklı başlangıç ​​noktası seçer ve ardından bitişik bir yere taşıyarak sırayla alır her adımda bir öncekilerden vertex. Her iki oyuncu da artık hareket edemediğinde oyun sona erer. Daha fazla köşe hareketi yapan oyuncu kazanır (1990'da Bodlaender ve Kloks tarafından PSPACE-complete olarak tahmin edildi).
Tillmann Miltzow, Tron, Soyut Grafikler Üzerinde Kombinatoryal Oyun (2011)

$n \times m$

               Width n
           1 2 3 4 5 6 7 8 
         1 A B A B A B A B    Winning matrix up to 8x8
         2   B B B B B B B 
         3     A B A B A B 
Height m 4       B B B B B  
         5         A B A B 
         6           B B B 
         7             A B 
         8               B 

İlginçtir ki, A oyuncusu rastgele bir başlangıç ​​düğümü seçebiliyorsa aynı matris elde edilir.

Yorumlarda belirtildiği gibi, GG katı ızgara grafiklerinde (keyfi şekillerle, ancak deliksiz) oynandığında kazanan bir strateji olup olmadığına karar vermenin karmaşıklığının bilinmediğini ve muhtemelen bir şeyleri kanıtlamanın o kadar kolay olmadığını düşünüyorum. katı bir ızgara grafiğinin bir Hamilton yoluna sahip olup olmadığına karar verme sorunu hala açıkken, bir katı ızgara grafiğinin bir Hamiltonian döngüsüne sahip olup olmadığına karar vermek polinom zamanının çözülebileceğine karar vermektir .

Son bir önemsiz not: GG, tam grafiklerde de polinom zamanıyla çözülebilir.

$1$$c$$G-c$$0$$c$$1$