DFA'larla ilgili açık problemler var mı?

Deterministik sonlu durum otomatlarını (DFA) undergrad'da okuduktan sonra çok iyi anlaşıldığını hissettim. Benim sorum, onlar hakkında hala anlamadığımız bir şey olup olmadığı. DFA'ların genelleştirilmesinden bahsetmiyorum, fakat orjinalinde incelediğimiz orijinal değiştirilmemiş DFA'lar.

Bu belirsiz bir soru ama umarım fikri anlarsın. DFA'ları tamamen anladığımızı söylemenin adil olup olmadığını anlamak istiyorum. Bu yüzden, doğal olarak DFA'lar ile ilgili olan soruları kastediyorum, yapay olarak DFA'lar hakkında bir problem gibi görünmek için yapılmış problemler değil. Böyle bir soruna bir örnek vereyim. P = NP ise L boş dil, P ise NP değilse bazı normal olmayan dil olsun. L bir DFA tarafından kabul edilebilir mi? Bu soru DFA'lar ile ilgili, ama onlar ruhu içinde değil. Umarım amacım açıktır ve insanlardan aldatıcı cevap veremem.

Kısacası söylemek adil mi

DFA'ları esasen tamamen anlıyoruz.

Bunun farkında olmadığım çok büyük bir araştırma alanı olduğunu ortaya çıkardıysam özür dilerim ve sadece bütün bir topluluğa hakaret ettim.

İşte Shallit tarafından "Biçimsel dillerde ikinci bir kurs ve otomat teorisi" kitabında açıklanan bir problem.

Let ve ile iki ayrı kelime . Kabul en küçük DFA büyüklüğü nedir ama reddeder tersi ya?v | u | = | v | = N u $u$$v$$|u|=|v|=n$$u$$v$

Robson, 1989'da " Küçük otomatalı dizeleri ayırma " adlı makalesinde , üst sınır olduğunu kanıtladı . en iyi bilinen alt sınır .Ω ( log n $O(n^{2/5}(\log n)^{3/5})$$\Omega(\log n)$

Bir anket için buna bakın .

İşte DFA'lar hakkında çok basit bir karar sorunu. Bir DFA M verildiğinde, M, en az bir asal sayının baz-2 gösterimini kabul eder mi?

Şu anda, bu sorunun tekrar tekrar çözülebilir olup olmadığını bile bilmiyoruz.

Eğer özyinelemeli olarak çözülebilirse ve bunun için bir algoritmamız varsa, bilinen en büyüklerinden daha büyük herhangi bir Fermat primi ( formunun primerleri) olup olmadığı konusundaki uzun süredir açık olan problemi çözebiliriz. 65537. ( formunun base-2 temsili olan herhangi bir asal bir Fermat astarı olmalıdır.)1 0 +$2^{2^n} + 1$$1 0^+ 1$

Conerný varsayımı hala açık ve önemlidir. Bir senkronizasyon kelimesine sahip olan DFA'lar hakkında (otomatın iki kopyasının farklı durumlarda başlatılması özelliğine sahip bir kelime, her iki kelimeyi işledikten sonra her zaman birbiriyle aynı durumda olur) ve ( -state için otomatlar) bu tür en kısa kelimelerin uzunluğu daima en fazla . Kanıtlanmış en iyi sınırlar biçimindedir .( n - 1 ) 2 O ( n- 3$n$$(n-1)^2$$O(n^3)$

DFA'larla ilgili çok temel kavramların etkileşimi ile ilgili başka bir araştırma problemine işaret etmek istiyorum.

Herhangi bir n durumunun NFA'sının en fazla durumuna sahip eşdeğer bir DFA'ya dönüştürülebildiği iyi bilinmektedir . Bu en kötü durumda mümkün değildir, nondeterministik durum karmaşıklığının düzenli dilleri (yani, minimum NFA'daki devlet sayısı), fakat deterministik durum karmaşıklığı olduğu anlamındadır . Nondeterminizmin ikinci dereceden bir faktörü kurtarabileceği dil aileleri örnekleri ve nondeterminizmin hiçbir devleti kurtarmaya yardımcı olmadığı durumlar da vardır. Böylece doğal bir soru şudur:2 $2^n$$2^n$

Sihirli sayı problemi

ve arasındaki her bir için , normal olmayan bir durum karmaşıklığı ile deterministik durum karmaşıklığı arasındaki boşluğun tam olarak normal bir dil mı?n 2 n L n$\alpha$$n$$2^n$$L_n$$\alpha$

Powerset inşasını ve Myhill-Nerode ilişkisini matematiksel bir perspektiften tamamen anlarsak, o zaman birinin her bir için bu gibi diller inşa edebileceğini veya alternatif olarak bunun mümkün olmadığı değerlerini belirleyebileceğini umuyorum. (eğer bu tür değerler varsa, bunlara "sihirli sayılar" denir).$\alpha$$\alpha$

Alfabe boyutu en az ise, giriş alfabesi boyutu için sihirli sayılar olduğu ve 2009'dan beri sihirli sayılar olmadığı bilinmektedir . Ancak yanılmıyorsam, ikili alfabe durumu hala açık.$1$$3$

Galina Jirásková. Sihirli sayılar ve üçlü alfabe. In: 13. Uluslararası Dil Teorisindeki Gelişmeler Konferansı (DLT 2009), 5583 Sayılı Bilgisayar Bilimleri Ders Notları, sayfa 300–311.

Başlık: İki DFA için Kavşaksızlık

Açıklama: İki DFA Verilen ve , bir dize var mevcut mu şekildedir ve hem kabul ?D 2 x D 1 D 2$D_1$$D_2$$x$$D_1$$D_2$$x$

Açık Sorun: İki DFA'nın boşluksuzluk kesişimini sürede çözebilir miyiz ?$o(n^2)$

Bu sorunu <2 olan saatinde çözebilirsek , güçlü üssel zaman hipotezi reddedilir.$O(n^{\delta})$$\delta$

Açıklama: İkinci dereceden bir sürede normal dillerin kesişim boşluğuna karar vermek

Bunu yararlı bulabilirsiniz: http://rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/on-the-intersection-of-finite-automata/

İyi günler! :)

İşte DFA ve makine öğrenme teorisi ile ilgili açık bir problem: eşit olarak rastgele (rastgele geçişler ve kabul etme / reddetme davranışı) DFA, PAC modelinde öğrenilebilir mi?

Not: Keyfi DFA'nın kriptografik sertlik sonuçlarının öğrenilemediğini düşünüyoruz . Rasgele DFA için, yalnızca güçlü olmayan SQ alt sınırlarımız vardır.

Minimal kapak otomata ilgili bir şeyden biridir. Sonlu dil Verilen , biz minimal DFA elde edebilirsiniz . Ancak DFA'nın gereksinimlerini gevşetirsek daha küçüklerini bulabiliriz. Sonlu bir dilde en uzun kelimenin uzunluğu olduğunu biliyoruz . DFCA'yı yalnızca veya muhtemelen den uzun olan sözcükleri kabul eden bir DFA olarak tanımlayın . O zaman bu DFCA, için DFA'dan daha küçük boyutta olabilir . Uygulamada bir kelimenin uzunluğunu kontrol etmek önemli değildir. Eğer orijinal olanları kabul eden daha küçük bir DFCA varsa, sadece den büyük olan kelimeleri reddedebiliriz . Bu sınıfta bazı araştırmalar yapılmıştır (2001'de tanıtılmıştır) ve örneğinL L L L L L l O ( n, 2$L$$L$$L$$l$$L$$l$$L$$l$$O(n^2)$ Minimal DFCA bulmak için algoritması . Optimum bir çalışma süresi algoritması henüz bilinmemektedir. Ayrıca DFA'yı DFCA hakkında düşünebileceğimiz başka yönleri de var.

Asgari DFA’nın durumları tam olarak ne kadardır?$n$

Bana öyle geliyor ki kapalı formüllü bir formül var olmalı, ancak hiçbiri bilinmiyor. Bazı asimptotik sınırlar bilinmektedir:

durumlu sonlu otomatlar tarafından kabul edilen farklı dillerin sayısı$n$ . M Domaratzki, D Kisman, J Shallit.

İşte daha önce burada DFA ile ilgili bir soru sordum ve bildiğim kadarıyla hala açık:

Bir tamsayı ve alfabe harflerini düzeltin . Define üzerindeki tüm sonlu-durum otomata toplama olmaya durumunu 1. Biz düşünen başlayan devletler tüm DFAS (olanları sadece bağlı değil, minimal veya olmayan dejenere); Böylece, .$n$$\Sigma=\{0,1\}$$DFA(n)$$n$$|DFA(n)| = n^{2n}2^n$

Şimdi, iki şeritler dikkate ve tanımlamak unsurlarının sayısı olduğu kabul hem ve .$x,y\in\Sigma^*$$K_n(x,y)$$DFA(n)$ $x$$y$

Soru: hesaplamasının karmaşıklığı nedir ? Özellikle, zamanında hesaplanabilir mi?$K_n(x,y)$$K_n(x,y)$$poly(n,|x|,|y|)$

Bu sorunun makine öğrenmesi için etkileri var .

("kutunun dışında düşünmek" ...) bu, DFA'ları içeren (başka bir yerde çalışılmadığını görmüş) bir şekilde tartışılan bir sorundur, ancak TCS'de birçok görünüşe göre "basit" hesaplama nesnelerinin (DFA'lar gibi) bile karmaşık özelliklere sahip olabileceği bir tema ortaya koymaktadır. ayrıca Rices teoreminde yer alan bir konu / tema. (bazı açılardan nihai “karmaşıklık” “kararsız” dır.

DFA ailesini ve "üstel" işletmeciyi "↑" düşünün. bu operatör normal bir ifade (RE) "x ↑ n" alır ve kere tekrar eder . yani herhangi bir yeniden için ve sonlu , (aynı zamanda, bu nedenle bir TSA), RE. bu operatör çeşitli bağlamlarda ve bazı önemli problemlerde göz önünde bulundurulur, örneğin EXPSPACE'in eksiksiz olduğu kanıtlanmış ilk problemlerden biri. [1] [2]$n$$x$$n$$x↑n$

Şimdi DFA'ler bir aile düşünün tek RL ifadeden inşa edilmiştir şeklinde üs alma operatörü gömülü olduğu durumlarda ile (tam olarak değil / kesinlikle bir DFA) '↑ n' burada nerede '↑ n' bir semboldür (ama aksi takdirde , bir RL / DFA'dır). Daha sonra her sonlu için , / değiştirilmesi örneklerini ikame inşa, "x ↑ n" olarak ile n adet tekrarlayan örneklerini x , aynı zamanda bir RL (ve bir DFA)' dir.$DFA_n$$DFA'$$DFA'$$n$$DFA_n$$DFA'$

(şimdi her zamanki gibi , dil sembol seti / alfabe olsun.) iddia:$\Sigma$

Sorun " " bir var ?$n$$DFA_n ≠ \Sigma*$

iddia, temelde düzenli bir ifadenin, "tam dilden" eşit değilse, belirli bir girişte TM hesaplamasını simüle eden üstelleştirmeyi kullanarak yapılan [1]' deki yapılardır . üstelik, TM hesaplamalı tablosunda kullanılan ve dilde kelimeyi kabul eden maksimum bant genişliğini yansıtmak için kullanılır. Bu yapı [3] de bulunabilir. Durdurucu bir hesaplama , kelimeyi kabul eden o hesaplama tablosu için sınırlı bir bant genişliği varsa bulunabilir .$\Sigma*$$n$

Şimdi, bunu daha fazla soru ile ilişkilendirmek için, bu yaygın olarak belirtilmese de (bazıları tarafından önemsiz olarak kabul edilir), TCS / matematikteki birçok açık sorun, durma problemi için bir kehanet verilmiş olduğu için kararsızlıkla sıkı sıkıya bağlıdır; "çözüldü.

bu nedenle, bir anlamda, bu temel sorunu, belirlenemeyen DFA'lar hakkındaki bu temel problemi kullanarak bir araya getirmek, DFA'lar hakkında her zaman açık problemler olacaktır; . Aslında, Rices teoremini bu yapı bazı şekillerde olduğu gibi tersten kullanmak, temelde TCS'deki göreceli olarak “basit” ancak önemsiz bir hesaplama özelliği, kararsız sorunları inşa etmek için kullanılabilir.

[1] Üstel zaman gerektiren kelime problemleri / Stockmeyer & Meyer

[2] Meyer, AR ve L. Stockmeyer. Kare ile düzenli ifadeler için denklik problemi üssel alanı gerektirir. 13. IEEE Anahtarlama ve Otomatlar Teorisi Sempozyumu, Ekim 1972, s.125-129.

[3] Dillere , otomatlara ve hesaplamalara giriş / Hopcroft / Ullman.