Las Vegas ve Monte Carlo Rastgele Karar Ağacı Karmaşıklığı

Arka fon:

Karar ağacı karmaşıklığı veya sorgu karmaşıklığı, aşağıdaki gibi tanımlanan basit bir hesaplama modelidir. Let olduğu bir Boolean fonksiyonu. ile gösterilen deterministik sorgu karmaşıklığı, girişinin (daha kötü durumda) deterministik bir algoritma tarafından okunması gereken minimum bit sayısıdır. değerini hesaplar . Karmaşıklık ölçüsünün, okunan girdinin bit sayısı olduğunu unutmayın; diğer tüm hesaplamalar ücretsizdir.$f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$$f$$D(f)$$x\in\{0,1\}^n$$f(x)$

Aynı şekilde, Las Vegas, sorgu karmaşıklığı randomize tanımlayan , belirtilen ihtiyaç sıfır hata randomize algoritma değerlerini hesaplar göre beklenti okunmalıdır için girdi minimum bit sayısı, . Sıfır hata algoritması her zaman doğru yanıtı verir, ancak okunan giriş bitlerinin sayısı algoritmanın dahili rasgeleliğine bağlıdır. (Bu yüzden okunan beklenen girdi biti sayısını ölçüyoruz.)$f$$R_0(f)$$f(x)$

Monte Carlo sorgu karmaşıklığı randomize tanımlayan , belirtilen , gerek bir sınırlanmış-hata randomize algoritma değerlerini hesaplar tarafından okunabilir için girdi minimum bit sayısı olarak . Sınırlı hata algoritması her zaman sonunda bir yanıt verir, ancak sadece 3'ten büyük olasılıkla doğru olması gerekir (örneğin).$f$$R_2(f)$$f(x)$$2/3$

Soru

Olup olmadığı sorusu hakkında bilinenler

$R_0(f) = \Theta(R_2(f))$ ?

Bilindiği gibi

$R_0(f) = \Omega(R_2(f))$

çünkü Monte Carlo algoritmaları en azından Las Vegas algoritmaları kadar güçlüdür.

Son zamanlarda iki karmaşıklık arasında bilinen bir ayrım olmadığını öğrendim. Bu iddia için bulabildiğim en son referans 1998'den [1]:

[1] Nikolai K. Vereshchagin, Randomize Boole karar ağaçları: Çeşitli açıklamalar, Teorik Bilgisayar Bilimi, Cilt 207, Sayı 2, 6 Kasım 1998, Sayfa 329-342, ISSN 0304-3975, http://dx.doi.org/ 10.1016 / S0304-3975 (98) 00071-1 .

Birinin diğeri açısından en iyi bilinen üst sınırı

$R_0(f) = O(R_2(f)^2 \log{R_2(f)})$

nedeniyle [2]:

[2] Kulkarni, R. ve Tal, A. (2013, Kasım). Kesirli Blok Hassasiyetinde. Hesaplamalı Karmaşıklık (ECCC) Elektronik Kolokyumu'nda (Cilt 20, s. 168).

İki özel sorum var.

1. [Referans istek]: Bu sorunu tartışan daha yeni bir makale (1998'den sonra) var mı?
2. Daha da önemlisi , bu iki karmaşıklığı ayırmak için öngörülen bir aday işlevi var mı?

V2'de eklendi : Ref [2] eklendi, aday fonksiyonun varlığı hakkında ikinci soruyu vurguladı.

Bildiğim kadarıyla bu hala açık. Bu miktarlardan ve bazı sınırlardan bahseden çok yeni bir makale Aaronson ve diğerleri: Zayıf parite (bkz. Http://arxiv.org/abs/1312.0036 ). Ayrıca Jukna: Boolean işlevlerinin 14. bölümünü ve Buhrman ve de Wolf'un 1999 (hala 1998'i yeniyor!) Anketini de görebilirsiniz. : Randomize karar ağacı karmaşıklığı hakkında başka çok yeni kağıt Magniez vd olduğunu http://arxiv.org/abs/1309.7565

Son olarak, geçen ay kendim için yaptığım kısa bir özet (defs olmadan):

R2, <= R0 <= d <= N

D <= N0 * N1 <= Cı ^ 2 <= R0 ^ 2

s <= bs <= C <= s * bs <= bs ^ 2 (yeni: [Gilmer-Saks-Srinivasan]: f st bs ^ 2 (f) = O (C (f)) var)

D <= N1 * bs <= bs ^ 3 <= (3R2) ^ 3

deg <= D <= bs * deg <= deg ^ 3 (yeni: [Tal]: bs <= deg ^ 2)

D <= N1 * C

Cı <= bs * ° ^ 2 <= C ^ 4

Duyarlılık varsayımı, s'nin diğer parametrelerle polinom olarak da ilişkili olduğudur.

Bu soru çözüldü!

Birkaç gün önce Andris Ambainis, Kaspars Balodis, Aleksandrs Belovs, Troy Lee, Miklos Santha ve Juris Smotrovs, tatmin edici bir fonksiyonunun varlığını gösteren bir ön baskı yükledi$f$

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_2(f)^{2})$

ve hatta

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_1(f)^{2})$ ,

buradaki , 1 taraflı sınırlı hata rasgele sorgu karmaşıklığını belirtir.$R_1(f)$

Her iki ayırma, günlük faktörlerine kadar optimaldir!