Referans Talebi: Submodüler Minimizasyon ve Monoton Boolean Fonksiyonları

Arka plan: Makine öğreniminde, genellikle yüksek boyutlu olasılık yoğunluk fonksiyonlarını temsil etmek için grafik modellerle çalışırız . Bir yoğunluğun 1 ile bütünleştiği (toplamlar) kısıtlamasını atarsak, normal olmayan bir grafik yapılı enerji fonksiyonu elde ederiz .

G = ( V , E ) grafiğinde tanımlanan gibi bir enerji fonksiyonumuz olduğunu varsayalım . Grafiğin her tepe noktası için bir değişken x vardır ve gerçek değerli tekli ve çiftli fonksiyonlar vardır, θ i ( x i ) : i ∈ V ve θ i j ( x i , x j ) : i j ∈ E , sırasıyla. Tam enerji o zaman$E$$G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})$$x$$\theta_i(x_i) : i \in \mathcal{V}$$\theta_{ij}(x_i, x_j) : ij \in \mathcal{E}$

$$E(\mathbf{x}) = \sum_{i \in \mathcal{V}} \theta_i(x_i) + \sum_{ij \in \mathcal{E}} \theta_{ij}(x_i, x_j)$$

Tüm ikili ise, bir set üyeliğini belirten bir şey olduğunu düşünebiliriz ve terminolojinin küçük bir kötüye kullanımı ile alt-modellik hakkında konuşabiliriz. Bu durumda, bir enerji işlevi alt modül olarak iff . Genellikle enerjiyi en aza indiren yapılandırmayı bulmak isteriz, .$x \in \mathbf{x}$$x$$\theta_{ij}(0, 0) + \theta_{ij}(1, 1) \le \theta_{ij}(0, 1) + \theta_{ij}(1, 0)$$\mathbf{x}^* = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$

Submodüler bir enerji fonksiyonunun en aza indirilmesi ile monoton boolean fonksiyonlarının en aza indirilmesi arasında bir bağlantı var gibi görünüyor: herhangi bir x_i için bazı \ theta_i (x_i = 1) enerjisini düşürürsek (yani, tercihini "doğru" olarak arttırırsak), optimal \ mathbf {x} ^ * içindeki herhangi bir x_i ^ * \ değişkeninin atanması sadece 0'dan 1'e değişebilir ("yanlış" ila "doğru"). Tüm \ theta_i 0 veya 1 olarak kısıtlanmışsa, | \ mathcal {V} | monoton boolean fonksiyonları:$\theta_i(x_i=1)$$x_i$$x_i^* \in \mathbf{x}^*$$\theta_i$$|\mathcal{V}|$

$$f_i(\mathbf{\theta}) = x_i^*$$

burada yukarıdaki gibi, $\mathbf{x^*} = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$ .

Soru: İkili terimleri değiştirerek, bu kurulumu kullanan tüm monoton boole işlevlerini temsil edebilir miyiz, ? keyfi bir submodüler enerji işlevi olmasına izin verirsek ne olur ? Tersine, tüm alt- minimizasyon problemlerinimonoton boole fonksiyonları?$\theta_{ij}$$E$$|\mathcal{V}|$

Bu bağlantıları daha iyi anlamamı sağlayacak referanslar önerebilir misiniz? Teorik bir bilgisayar bilimcisi değilim, ama monoton boolean fonksiyonlar hakkında submodüler minimizasyon terimleriyle düşünerek yakalanmayan anlayışlar olup olmadığını anlamaya çalışıyorum.

Anladığım kadarıyla, submodüler minimizasyon durumu monoton Boolean vakası hakkında söylenecek her şeyi yakalar ve ikili submodüler Boolean fonksiyonları tüm submodüler Boolean fonksiyonlarını ifade edebilir. Ancak, etki alanı Boolean değilse, ikili değişkenler, gizli değişkenler eklenebilse bile tüm alt modül işlevlerini ifade etmek için yeterli değildir. (Kesin sorun ifadelerinizde bir inceliği kaçırırsam özür dilerim.)

Teknolojinin durumu, ilgili işe çok sayıda bağlantı içeren ve aynı zamanda bilgisayar vizyonuna olan bağlantıları oldukça açık hale getiren bu güzel makalede tartışılmaktadır:

• Stanislav Živný, David A. Cohen, Peter G. Jeavons, İkili submodüler fonksiyonların ifade gücü , DAM 157 3347–3358, 2009. doi: 10.1016 / j.dam.2009.07.001 ( baskı öncesi )

Bir sonraki sorunuzun yaklaşık tahmin olması durumunda, bu son makale yaklaşık versiyona bakar:

• Dorit S. Hochbaum, Altmodüler problemler - yaklaşımlar ve algoritmalar , arXiv: 1010.1945

Düzenleme: sabit bağlantı.