Kübik grafiklerde kenar bölümleme sorunu

Aşağıdaki problemin karmaşıklığı incelenmiştir mi?

Giriş : bir kübik (veya düzenli) grafik G = ( V , E ) , doğal bir üst sınır $3$$G=(V,E)$$t$

Soru : içine bir bölümü var mı | E | / 3 boyutta parça 3 (nonnecessarily bağlı) karşılık gelen Alt Graflar emriyle toplamı en fazla böyle olduğu t ?$E$$|E|/3$$3$$t$

İlgili çalışma Literatürde , bir şekilde bir şekilde ilişkili olan üç kenar içeren bazı grafiklere, bazılarında da hesaplanan karmaşıklık meseleleriyle ilgili bazı bölümlerde, bölümlemenin varlığı için gerekli ve / veya yeterli koşulları kanıtlayan epeyce makale buldum . yukarıdaki (örneğin, bölüm izomorf subgraphs verim gerekir ya da P 4 ve kilo belirli bir bölümü ile bağlantılı olan), ancak bunların hiçbiri yukarıdaki sorun tam olarak ele.$K_{1,3}$$P_4$

Buradaki tüm makaleleri listelemek biraz sıkıcı olurdu, ancak birçoğu ya Dor ya da Tarsi tarafından alıntılandı ya da alıntılandı .

20101024: Bu makaleyi Goldschmidt ve ark. Bir kenarı bir grafiği AT MOST kenarlarını içeren parçalara bölme sorununun ortaya çıktığını, böylece indüklenen alt yazıların sıralarının toplamının en fazla t olduğu şekilde k = 3 olsa bile NP-tamam olduğunu kanıtlamıştır . Biz sıkı eşitlik wrt gerektiğinde sorun, kübik grafiklerle NP-tam kalmasını açıktır k ?$k$$t$$k=3$$k$

Ek bilgi

Başarısız olan bazı stratejiler denedim. Daha doğrusu, bunu kanıtlayan bazı örnekler buldum:

• Üçgen sayısının maksimuma çıkarılması, optimum bir çözüme yol açmaz; bu, bir şekilde karşı sezgisel buluyorum, çünkü üçgenler, üç kenardaki tüm olası grafikler arasında en düşük sıraya sahip altyazılardır;

• Grafiğin bağlı bileşenlere bölünmesi de mutlaka optimum bir çözüme yol açmaz. Umut verici görünmesinin nedeni daha az belirgin olabilir, ancak birçok durumda, belirli bir alt yazıyı bağlamak için kenarların takas edilmesinin daha az ağırlığa sahip bir çözüme yol açtığını görülebilir (örneğin: bunu, her birine bir ek kenarı bağlı bir üçgen üzerinde deneyin) vertex; üçgen bir kısımdır, gerisi ikinci, toplam ağırlık 3 + 6 = 9'dur. Sonra iki kenar değişimi bir yol ve bir yıldız verir, toplam ağırlık 4 + 4 = 8'dir.)

İşte NP'nin zor olduğunu göstermenin bir önerisi. Bunun işe yarayıp yaramadığını bilmiyorum. İlk olarak, aynı problemi çoklu belgeler üzerinde düşünün. NP sertliğinin burada kanıtlanması daha kolay olabilir. Yaklaşılması zor bile NP olan kübik MAX CUT'u azaltmayı deneyin (Berman ve Karpinski "Daha Sıkı Yaklaşılmazlık Sonuçları Üzerine"). Her kenarı ikiye bölün ve yeni derece-2 köşelerinin her birinde kendinden döngülü bir köşe ekleyin. Maksimum bölümünüz maksimum kesime karşılık geliyor mu?

-

İşte biraz daha açıklama.

(1) Bir kübik grafiğin tüm yönelimleri üzerinde maksimize etme (kaynak sayısı + lavabo sayısı) sorunu bazı doğrusal fonksiyonlarla MAXCUT ile ilgilidir. Bu, maksimum kesimler ve kaynaklar-ve-lavabolar-maksimum yönlendirmeler arasındaki bazı uyuşmazlıkların gösterilmesini gerektirir. Bir yönde, maksimum kesimde (U, V), tüm kenarları U'dan V'e yönlendirebiliriz. İç kenarlar E (U) bir eşleşme oluşturur, böylece bunlar E (V) için keyfi ve benzer şekilde yönlendirilebilir ve Toplam kaynak ve lavabo sayısı kesim büyüklüğünün doğrusal bir işlevidir. Diğer yönde, kaynaklar ve lavabolar-maksimum yönelim göz önüne alındığında, U = 0 veya 1 derecelik köşeler, V = 2 veya 3 derecelik köşeler bir kesim verir.

(2) Yukarıda tarif edilen kenar ayırma dönüşümünde, optimum bir konfigürasyonda her ilmek, onun yanında bulunan kenar ile aynı renktedir ve bu kenarın, yanındaki diğer bazı (ilmek olmayan) kenarlarla aynı şekilde renklendirilmesi söyledi. Böylece her iki taraflı kenar, bağlı ilmeğinden gelen bir renge ve diğer bir renge sahiptir. Bu, bir yönelime karşılık gelir ve (1) uygulanır.