Neden Ramanujan grafikleri Ramanujan'dan sonra adlandırılmıştır?

Son zamanlarda genişleticilere ders verdim ve Ramanujan grafikleri kavramını tanıttım. Michael Forbes neden bu şekilde çağırıldıklarını sordu ve bilmediğimi itiraf etmeliydim. Kimse?

Buradaki cevaplara biraz içerik eklemek için, Ramanujan'ın varsayımının ne olduğunu kısaca açıklayacağım.

Her şeyden önce, Ramanujan'ın varsayımı aslında Eichler ve Igusa'nın kanıtladığı bir teoremdir. İşte bunu ifade etmenin bir yolu. Let $r_m(n)$ ikinci dereceden denkleme entegre çözümlerin sayısını göstermek $x_1^2 + m^2 x_2^2 + m^2 x_3^2 + m^2 x_4^2 = n$ . Eğer $m=1$ , bu $r_m(n) > 0$m r m ( n ) = C m Σ d | n d + O ( n, 1 / 2 + ε ) ε > 0 C m$r_1(n) = 8 \sum_{d \mid n, 4 \not \mid d} d$$m$$r_m(n) = c_m \sum_{d \mid n} d + O(n^{1/2 + \epsilon})$$\epsilon > 0$$c_m$$m$

Lubtozky, Phillips ve Sarnak, genişleyicilerini bu sonuca göre inşa etti. Analizlerinin ayrıntılarına aşina değilim ama temel fikir, her toplamın belirlediği jeneratörler kullanılarak olan bir asıl için olan bir grafiği oluşturmaktır . Four-kareler ayrışmasını p , p ikinci dereceden bir tortu, modülo olan q . Sonra, bu Cayley grafik öz ilgili R_ {2q} (p ^ k) tamsayı güçler için k . $PSL(2,Z_q)$$q$$1 \bmod 4$$p$$p$$q$$r_{2q}(p^k)$$k$

Lubotzky-Phillips-Sarnak gazetesinin kendisinden başka bir referans Noga Alon'un Yüksek Cebirden Araçlar'daki kısa açıklamasıdır .

Vikipedi bu cevabı derhal sunar. Alıntı yapmak

Ramanujan grafiklerinin yapıları çoğunlukla cebirseldir. Lubotzky, Phillips ve Sarnak , bir asal olduğunda, sonsuz bir düzenli Ramanujan grafiği ailesinin nasıl kurulacağını göstermektedir . Kanıtları , Ramanujan grafiklerinin ismine yol açan Ramanujan varsayımını kullanıyor .$p+1$$p = 1 \mod 4$

Kağıt ifade olan Ramanujan grafikleri A. Lubotzky, R. Phillips ve P. Sarnak, COMBINATORICA Cilt 8, Sayı 3, (1988), 261-277, DOI: 10.1007 / BF02126799.